極形式とド・モアブルの定理

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   絶対値が 1 の複素数 $z$ を、単位円の上の点として考えてみよう。

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   x 軸の正の向きからの角 $\theta$ が偏角。$z = \cos\theta + i\sin\theta$ と書けるよ(極形式)。

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   $z$ を 2 乗すると、偏角はちょうど 2 倍の $2\theta$。絶対値は 1 のままだよ。

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   3 乗すると偏角は $3\theta$。$z$ をもう1つ掛けるたびに $\theta$ ずつ回って、長さは 1 のまま変わらないんだ。

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   z を動かしてみよう。$z^2$ は 2 倍の速さ、$z^3$ は 3 倍の速さで円周を回るよ。

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   これがド・モアブルの定理だよ。(cos θ + i sin θ) を n 乗すると、偏角が n 倍になるんだ。

   $$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$$