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複素数平面

ド・モアブルの定理

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta。nn 乗すると偏角は nn 倍になる。

主張

絶対値が 11 の複素数を極形式で cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta と書くと、それを nn 乗した結果は偏角だけが nn 倍になって cos⁡nθ+isin⁡nθ\cos n\theta+i\sin n\theta。絶対値は 11 のまま変わらないよ。だから z2z^2 は偏角 2θ2\theta、z3z^3 は 3θ3\theta の点になる。一般に絶対値 rr の複素数 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) なら zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta) で、絶対値は rnr^n、偏角は nθn\theta だね。

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta
θ2θ3θzz²z³
単位円上の zz(θ\theta)・z2z^2(2θ2\theta)・z3z^3(3θ3\theta)。11 乗増えるごとに偏角が θ\theta ずつ回り、長さは 11 のまま。

成り立つ条件

zz を極形式 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) で書くこと(00 でない複素数なら必ず書ける)。指数 nn は整数なら何でもよく、n=0n=0(z0=1z^0=1)や負の整数(逆数=偏角の符号を反転)でも成り立つ。

証明(なぜ成り立つ?)

「複素数の積は偏角を足す」を出発点に、数学的帰納法で nn 乗まで一段ずつ偏角を増やしていく。

  1. 1

    まず 22 つの積から。加法定理を使うと、22 つの複素数を掛けた結果は偏角が和 α+β\alpha+\beta になる。掛けると偏角は足し算なんだ(複素数の積は回転と拡大)。

    (cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)
  2. 2

    n=1n=1 のときは両辺 cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta で成り立つ。次に n=kn=k で成り立つ、つまり (cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡kθ+isin⁡kθ(\cos\theta+i\sin\theta)^k=\cos k\theta+i\sin k\theta と仮定するよ。

  3. 3

    両辺にもう 11 つ cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta+i\sin\theta を掛けると、上の積の公式(α=kθ, β=θ\alpha=k\theta,\ \beta=\theta)で偏角が θ\theta だけ増えて (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=cos⁡(k+1)θ+isin⁡(k+1)θ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta。n=k+1n=k+1 でも成り立つ。

    (cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)=cos⁡(k+1)θ+isin⁡(k+1)θ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}=(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta
  4. 4

    数学的帰納法ですべての自然数 nn で成立。負の整数は逆数 1z=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\dfrac{1}{z}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)(偏角を反転)を使えば同じ式になり、n=0n=0 も z0=1z^0=1 で成り立つ。絶対値が 11 でない z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) も、各因子に rr が掛かるので絶対値は rnr^n 倍、偏角は同じく nθn\theta になる。

逆

逆向きにたどると「nn 乗根」。cos⁡φ+isin⁡φ\cos\varphi+i\sin\varphi になる「nn 乗して偏角 φ\varphi」の数は、偏角を φ+360∘×kn\dfrac{\varphi+360^\circ\times k}{n}(k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1)とした nn 個ある。これが「11 の nn 乗根」が円周を nn 等分する理由だよ。

補足・つまずきポイント

ド・モアブルの定理は「複素数を掛けると偏角を足す」(=積は回転と拡大)を nn 回くり返したもの。z9z^9 のような高い累乗も、偏角を 99 倍するだけで一気に求まる。これが値打ちだね。cos⁡nθ\cos n\theta・sin⁡nθ\sin n\theta を cos⁡θ\cos\theta・sin⁡θ\sin\theta で表す「倍角・nn 倍角の公式」も、左辺を展開して実部・虚部を見比べれば出てくる。

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使いどころ

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