チェバとメネラウスの合わせ技

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   3本の線が点 P で交わってるよ。BD:DC=2:1、AF:FB=1:2 のとき、AP:PD を求めよう。

3. 2

   わかってる比は BD:DC と AF:FB の2組だけ。求めたい AP:PD はまだ遠いね。途中の比を1つ手に入れれば橋がかかりそう。まずどの定理から手をつける?

4. ② 考え方
5. 3

   まず3本が1点に集まる形 → チェバの定理。残りの CE:EA=1:1(E は中点)とわかるよ。

   $$\frac{2}{1}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{1}{2}=1 \;\Rightarrow\; CE:EA=1:1$$
6. 4

   次は道具を持ちかえよう。三角形 ADC を直線 B–E が突っ切る形 → メネラウスの出番。A→P→D→C→E→A と一周するよ。辺 BC は BD+DC だから DB:BC=2:3 だね。

7. ③ 解答
8. 5

   あてはめると $(AP/PD)\times(2/3)\times1 = 1$。だから AP:PD = 3:2 と決まるよ!

   $$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{DB}{BC}\cdot\frac{CE}{EA}=1 \;\Rightarrow\; AP:PD=3:2$$
9. 6

   使い分け: 1点に集まるならチェバ、直線が突っ切るならメネラウス。2つを継ぐと未知の比まで届くよ。