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チェバとメネラウスの合わせ技

📖 言葉で読む:チェバの定理 →メネラウスの定理 →

チェバとメネラウスの合わせ技全2問

2組の比から3組目を逆算する
チェバとメネラウスの合わせ技

① 考えてみよう

3本の線が点 $P$ で交わってるよ。 $BD:DC = 2:1$ 、 $AF:FB = 1:2$ のとき、 $AP:PD$ を求めよう。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
3本の線が点 $P$ で交わってるよ。 $BD:DC = 2:1$ 、 $AF:FB = 1:2$ のとき、 $AP:PD$ を求めよう。
2
わかってる比は $BD:DC$ と $AF:FB$ の2組だけ。求めたい $AP:PD$ はまだ遠いね。途中の比を1つ手に入れれば橋がかかりそう。 $AP:PD$ はどれになると思う?
② 考え方
3
3本が1点に集まる形だから、まずはチェバの定理の出番。残りの $CE:EA = 1:1$ ( $E$ は中点)とわかるよ。
$\frac{2}{1}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{1}{2}=1$
4
三角形 $ADC$ を直線 $BE$ が突っ切るから、次はメネラウスの出番。辺 $DC$ の延長上の $B$ も通って $A\to P\to D\to B\to C\to E\to A$ と一周し、 $DB:BC = 2:(2+1) = 2:3$ を使うよ。
③ 解答
5
メネラウスの式にあてはめると $\frac{AP}{PD}\cdot\frac{2}{3}\cdot 1 = 1$ 。だから $AP:PD = 3:2$ と決まるよ!
$\frac{AP}{PD}\cdot\frac{DB}{BC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$
6
1点に集まるならチェバ、直線が突っ切るならメネラウス。こう使い分けて2つを継ぐと、未知の比まで届くよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$\triangle ABC$ の3本の線分 $AD$ 、 $BE$ 、 $CF$ は1点 $P$ で交わるので、チェバの定理より

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$

仮定より $BD : DC = 2 : 1$ 、 $AF : FB = 1 : 2$ なので $\frac{2}{1} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{1}{2} = 1$

よって $\frac{CE}{EA} = 1$ ……①

次に $\triangle ADC$ と直線 $BE$ について考える。直線 $BE$ は辺 $AD$ と $P$ 、辺 $CA$ と $E$ で交わり、辺 $CD$ の延長と $B$ で交わるので、メネラウスの定理より

$\frac{AP}{PD} \cdot \frac{DB}{BC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$BD : DC = 2 : 1$ より $DB : BC = 2 : (2 + 1) = 2 : 3$ ……②

①、②より $\frac{AP}{PD} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = 1$ 、すなわち $\frac{AP}{PD} = \frac{3}{2}$

答え $AP : PD = 3 : 2$

減点されやすいポイント

メネラウスでは、頂点 $D$ から延長上の点 $B$ までの $DB$ と、 $B$ から頂点 $C$ までの $BC$ を使う。与えられた $DC$ をそのまま使って $\frac{DB}{DC} = 2$ にすると $AP : PD = 1 : 2$ になってしまうよ。2つの定理を続けて使うので、「どの三角形と、どの点(または直線)について使うか」をそれぞれ先に書くのがコツだね。

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