証明: チェバの定理

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   三角形の中に点 $P$ をとって、各頂点から $P$ を通る線を向かいの辺まで引くよ。足を $D$・$E$・$F$ とするね。この3つの比の積が $1$ になる、というのが示したいことだ。

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   武器はメネラウスだよ。$\triangle ABD$(紫)を見て。直線 $CF$ が、辺 $AB$ を $F$、辺 $DA$ を $P$、辺 $BD$ の延長を $C$ で切ってる。頂点を通らずに3辺を切る、横断線の形そのものだ!

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   $A$ から一周する向きで比を書こう。辺 $AB$ 上の $F$、延長上の $C$、辺 $DA$ 上の $P$ の順にたどるよ。メネラウスの定理から、3つの比の積が $1$ だと言えるね。

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   同じ見方をもう1回。今度は $\triangle ACD$ だよ。直線 $BE$ が、辺 $AC$ を $E$、辺 $DA$ を $P$、辺 $CD$ の延長を $B$ で切ってる。ほら、また同じ形が隠れてた!

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   こっちも $A$ から一周だよ。辺 $AC$ 上の $E$、延長上の $B$、辺 $DA$ 上の $P$ の順だね。そっくりな式が出てきた。$\dfrac{DP}{PA}$ が両方の式に居るのがポイントだよ。

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   じゃまな $\dfrac{DP}{PA}$ を消そう。割るというのは、逆さまにして掛けること。$\triangle ACD$ の式をひっくり返して掛ければ、$\dfrac{DP}{PA}$ どうしが約分できるね。

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   残った式を見て。$BC$ と $CB$ も同じ長さだから、これも約分できる。並べかえれば…ほら、チェバの定理そのものだ!図の赤が分子、緑が分母だよ。

   $$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB} = 1$$
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   コツは「メネラウスが使える三角形と横断線」を図から探すこと。しかも延長の先にあるのは元の頂点 $C$・$B$ だから、線を1本も足さずに済んだね。証明した定理は、次の武器になるんだ。