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座標平面に三角形 ABC があるよ。頂点 C を通る1本の直線で、この面積をちょうど半分に分けたいんだ。底辺 AB のどこへ向けて引けばいいと思う?
アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。
座標平面に三角形 ABC があるよ。頂点 C を通る1本の直線で、この面積をちょうど半分に分けたいんだ。底辺 AB のどこへ向けて引けばいいと思う?
頂点 C から引いて面積を半分こにする直線。底辺のどこを通せばいいか、見当をつけてみよう。
底辺 AB は長さ6、高さは C まで6だから、面積は 。半分なら9ずつ。まず底辺 AB の真ん中 M を見つけよう。
M は A(1,1) と B(7,1) の中点だから(4,1)。AM も MB も長さ3で同じ。ここへ頂点 C から直線を引いてみるよ。
三角形が左右2つに分かれたね。左の △ACM と右の △BCM。どちらも頂点は同じ C だから、高さ(C から AB までの6)も同じだよ。
底辺は AM=3・MB=3 で等しく、高さも同じ6。だから面積はどちらも 。形は違うけど、面積はぴったり半分こだ!
つまり、頂点から向かいの辺の中点へ引く中線が、面積を二等分する直線。底辺が半分・高さは共通、がきいているんだね。
もし頂点を通らない点から二等分したいときは、等積変形でいったん頂点を通る線に直すのがコツ。これが面積二等分の使いどころだよ。
解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。
、 はどちらも 座標が なので、辺 は 軸に平行で、
頂点 から直線 までの距離が高さなので、高さは
よって で、その半分は である。
辺 の中点を とすると、 の座標は で、
と は、底辺をそれぞれ 、 とみると、どちらも高さは から直線 までの距離 で等しい。
よって となり、直線 は の面積を二等分する。
直線 は2点 、 を通るので、傾きは
式を とおき、 を代入すると より
答え 辺 の中点 を通るように引く(直線の式は )
減点されやすいポイント
「底辺が等しく、高さが共通だから面積が等しい」が中線で二等分できる根拠なので、答案ではこの一文を省かずに書こう。 の真下の を通すと、左の三角形の底辺は で面積は にしかならないよ。 の長さの半分の をそのまま 座標にして とすると、底辺は で面積は になってしまうね。中点は「両はしの座標の平均」で求めよう。