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円の発展(接弦・方べき)

方べきの定理

点を通る2直線が円と交わるとき、交点までの長さの積は等しい。

主張

1つの点 P を通る2本の直線が、それぞれ円と2点で交わるとする。一方の直線が円と A・B で、もう一方が C・D で交わるなら、PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD がつねに成り立つよ。P が円の中だろうと外だろうと、同じ式が成り立つのがこの定理のおもしろいところ。長さの「積」が、どの直線でも変わらない一定値になるんだ。

PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD
PABCD
点 PP を通る2直線が、円と A,BA,B・C,DC,D で交わる配置。このとき PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD。

成り立つ条件

2直線が同じ円と交わり、その交点までの長さを同じ点 P から測ることが前提。P が円の外にあって一方が接線になっているときは、接点 T で2つの交点が重なると考えて PA⋅PB=PT2PA\cdot PB=PT^2(接線の長さの2乗)になる。これも方べきの定理の仲間だよ。

証明(なぜ成り立つ?)

交点 PP から円周上の点を結んで2つの三角形を作り、円周角の定理で相似を示す(まず PP が円の内側=2本が弦として交わる場合で考えるよ)。

  1. 1

    PP で交わる2弦の端点 A,BA,B・C,DC,D について、AA-CC と DD-BB を結んで三角形 PACPAC・PDBPDB を作るよ。

  2. 2

    2弦は PP で交わっているから、対頂角が等しい。

    ∠APC=∠DPB\angle APC=\angle DPB
  3. 3

    また ∠PAC\angle PAC と ∠PDB\angle PDB は、どちらも同じ弧 BCBC に立つ円周角だから等しい(円周角の定理)。

    ∠PAC=∠PDB\angle PAC=\angle PDB
  4. 4

    2組の角がそれぞれ等しいので、この2つの三角形は相似だ。

    △PAC∼△PDB\triangle PAC \sim \triangle PDB
    PABCD
    AA-CC、DD-BB を結んでできる △PAC\triangle PAC と △PDB\triangle PDB。対頂角と同じ弧 BCBC の円周角で、2組の角が等しく相似。
  5. 5

    相似だから対応する辺の比が等しい。たすきがけすると、長さの積が等しいと分かるよ。

    PAPD=PCPB  ⟹  PA⋅PB=PC⋅PD\dfrac{PA}{PD}=\dfrac{PC}{PB} \;\Longrightarrow\; PA\cdot PB=PC\cdot PD
  6. 6

    PP が円の外にある(2本とも割線)ときも、結論 PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD は同じように成り立つ。ただし筋道は少し変わって、PP のところは対頂角ではなく共通の角になり、等しい角は円に内接する四角形の性質から見つけることになるよ。この外の場合は、証明レッスン「証明: 方べきの定理(円の外の点)」で自分の手で組み立てられる。

補足・つまずきポイント

なぜ積が等しいのか? 交点を結ぶと相似な三角形ができ(△PAC∼△PDB\triangle PAC \sim \triangle PDB など、円周角の定理で等しい角がそろう)、対応する辺の比から PA:PD=PC:PBPA:PD=PC:PB、たすきがけして PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD が出る。丸暗記より、相似から導けると忘れにくい。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。