⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

方べきの定理

円の中で2本の弦が交わるとき、交点で分けられた線の長さには、どんな関係がかくれているだろう。点や線を動かして、変わらない量をさがそう。

円の中の点 P を通る直線は、円と2点で交わるよね。交点を A・B とするよ。

これだけ思い出そう

「円周角の定理 — どこから見ても、同じ角」で、同じ弧に立つ円周角が等しかったことを思い出そう。「相似 — 形は同じ、大きさだけ違う」と合わせて、今回はその2つを使って交わる弦の長さの関係を導くよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1
円の中の点 P を通る直線は、円と2点で交わるよね。交点を A・B とするよ。
2
もう1本、別の方向にも弦を引いてみよう。こちらの交点は C・D ね。
3
P で分けられた4つの長さに注目。 $PA \times PB = 3.5 \times 2.0$ 、 $PC \times PD = 2.8 \times 2.5$ 。掛け算してみると…どっちも 7!おお、同じ値だ!
4
「 $PA \times PB = PC \times PD$ 」。どの方向に弦を引いてもこの積は変わらない。これが「方べきの定理」だよ。
$PA \times PB = PC \times PD$
5
種明かしは相似だよ。 $A$ と $C$ 、 $D$ と $B$ を結ぶと、 $\triangle PAC$ と $\triangle PDB$ は相似(対頂角と、同じ弧 $CB$ を見る円周角)。だから $PA : PD = PC : PB$ 。たすき掛けで積が等しくなるんだ。
6
P が円の外にあるときも、片方が接線のときも、同じ「積が等しい」形が成り立つよ。代表の形は「使いどころ」で確認してみよう。