証明: 方べきの定理(円の外の点)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   点 $P$ は円の外にあるよ。$P$ から引いた2本の直線が、それぞれ円と2点で交わっている。$P$ に近いほうから $A$・$B$、$C$・$D$ と呼ぶね。

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   $A$ と $C$、$D$ と $B$ を結んでみよう。三角形が2枚できたね。小さい $\triangle PAC$ と、それを包む大きい $\triangle PDB$。この2枚が相似だと示すのが作戦だよ。

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   まず角を1組。2枚の三角形は $P$ のところの角を共通で持っているよね。同じ角なんだから、当然等しい。これで1組めがそろった。

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   もう1組を探そう。円周上の4点 $A$・$C$・$D$・$B$ でできる四角形は、円に内接しているよね。ということは、向かい合う $\angle CAB$(紫)と $\angle BDC$(緑)の和は $180^\circ$ だ。

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   $A$ は $P$ と $B$ のあいだにあるから、$\angle PAC$ と紫の $\angle CAB$ は平角 $180^\circ$ を分け合ってる。$\angle BDC$ も紫と足して $180^\circ$ だったよね。だから $\angle PAC = \angle BDC$ だ!

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   しかも緑の $\angle BDC$ は、$C$ が $P$ と $D$ のあいだにあるから $\angle PDB$ と同じ角。つまり2組めがそろった。2角相等で $\triangle PAC \backsim \triangle PDB$ だよ。

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   相似なら対応する辺の比は等しい。$A$ には $D$、$C$ には $B$ が対応する、たすきがけの向きだよ。比を書いて分母をはらうと…出た!円の外の点でも方べきの定理が成り立つね。

   $$PA : PD = PC : PB \;\Longrightarrow\; PA \cdot PB = PC \cdot PD$$
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   $P$ が円の内側にあるときは、$P$ の角が対頂角・等しい角が円周角になって根拠が変わる。図がどちらの形なのかを見分けてから、使う根拠を選ぶのがコツだよ。