三角形の五心
つの角の二等分線は 点で交わり、その点から 辺までの距離は等しい。
三角形の つの内角の二等分線は、必ず 点で交わるよ。その点を内心といい、ふつう で表す。 から 辺までの距離(垂線の長さ)はすべて等しく、その長さ を半径として を中心にかいた円は、 辺すべてにぴったり接する。これが内接円だね。
二等分するのは「内角」であること。「角の二等分線上の点は、その角をつくる 辺から等距離」という基本性質が、そのまま内心の根拠になる。
「角の二等分線上の点は、その角の 辺から等距離」という性質を使い、交点が 辺すべてから等距離になることを示す。
の二等分線と の二等分線の交点を とする。まずこの 本の交わりに注目しよう。
は の二等分線上だから、辺 と辺 から等距離。 の二等分線上でもあるから、辺 と辺 からも等距離。
つを合わせると 辺 ・・ までの距離がすべて等しい。すると は の 辺からも等距離なので、 の二等分線も同じ を通り、 本は 点に集まる。
辺までの距離が等しいから、その長さ を半径に を中心とする円をかくと、 辺すべてに接する。これが内接円、中心 が内心だね。
逆に、三角形の内部にあって 辺から等距離の点はただ つで、それが内心(内接円の中心)。「 辺から等距離の点」と「 角の二等分線の交点」は同じ点だね。
内心 は「 辺から等距離の点」、外心は「 頂点から等距離の点」。混同しやすいので「内=辺に接する内接円/外=頂点を通る外接円」で覚えよう。内心はどんな三角形でも必ず内部にある(外心とちがって外に出ない)。面積 と周の半分 を結ぶ (上の式)は、 と各頂点を結んで三角形を つに分け、どれも高さが になることから出る。面積と周から内接円の半径 を逆算できる、入試で便利な式だよ。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。