三角形の五心
辺の垂直二等分線は 点で交わり、その点から 頂点までの距離は等しい。
三角形の 辺それぞれの垂直二等分線は、必ず 点で交わるよ。その点を外心といい、ふつう で表す。 から つの頂点までの距離は等しく()、 を中心にこの長さ を半径とした円は 頂点すべてを通る。これが外接円だね。
垂直二等分線=辺の中点を通り、その辺と直角に交わる線であること。「垂直二等分線上の点は、その線分の両端から等距離」という作図の基本性質が、そのまま外心の根拠になる。
「垂直二等分線上の点は線分の両端から等距離」という性質を 本ぶん使い、 頂点からの距離がそろうことを示す。
辺 の垂直二等分線と、辺 の垂直二等分線の交点を とする。まずこの 本の交わりに注目しよう。
は の垂直二等分線上にあるから 。同じく の垂直二等分線上にあるから 。
つを合わせると も成り立つ。すると は辺 の両端からも等距離なので、 の垂直二等分線も同じ を通る。こうして 本は 点に集まるんだ。
頂点までの距離が等しいから、 を中心に半径 の円をかくと ・ も通る。この円が外接円、中心 が外心だね。
逆に、三角形の 頂点から等距離にある点はただ つで、それが外心(外接円の中心)。「 頂点から等距離の点」と「 辺の垂直二等分線の交点」は同じ点を指している、と読めるよ。
外心 は「 頂点から等距離の点」。内心(= 辺から等距離)と取りちがえやすいので、「外=頂点を通る外接円/内=辺に接する内接円」で区別しよう。外心の位置は三角形の形で変わり、鋭角三角形では内部、直角三角形では斜辺のちょうど中点、鈍角三角形では外部に来る。とくに「直角三角形の外心=斜辺の中点」は頻出で、直径に対する円周角(=タレスの定理)と表裏の関係。外心・内心・重心・垂心・傍心の つをまとめて三角形の五心と呼ぶ。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。