解の配置(区間に2解を持つ条件)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y=\frac{1}{4}(x-p)^2-1$ だよ。p はまだ決めてない定数。この2解が両方とも『$0<x<6$ の中』に入るような p を求めるのが今日の問題だよ。

3. 2

   $p$ を動かすと放物線は左右にスライドして、2つの解も動く。両方を区間 0〜6 におさめる $p$ の範囲は、どうなると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   目標の区間 $0<x<6$ を帯(うすむらさき)で出すよ。放物線と x 軸の交点(赤)が解だね。この赤い2点が、両方とも帯の中にいてほしいんだ。

6. 4

   条件①は判別式。この形は頂点が (p, −1) で x 軸より下にあるから、いつも2解($D>0$)。まず「異なる2つの解がある」はクリアだね。

7. 5

   条件②は軸の位置。軸は x=p(頂点の真上)。2解は軸をはさんで左右にあるから、両方を区間に入れるには軸が区間の内、$0<p<6$ が必要だよ。

8. 6

   条件③は端の符号。下に凸だから、両端 x=0・x=6 で $f>0$(端が上)なら、交点は端より内側になる。端の点(緑)を見よう。いま2つとも上にあるね。

9. 7

   1つでも崩すとはみ出すよ。p を 1.8 にすると…左端 f(0) がマイナス(端が下)になり、左の解が 0 より外へ飛び出した。条件③が破れたんだ。

10. ③ 解答
11. 8

    ①$D>0$・②$0<p<6$・③$f(0)>0$ かつ $f(6)>0$、ぜんぶ満たす p をしぼると $2<p<4$。判別式・軸・端の3点セットで解の居場所を決めるのが使いどころだよ。