判別式で交点の数を読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   放物線 $y = x^2 + bx + c$ だよ。x 軸とぶつかるところが $x^2 + bx + c = 0$ の解。いまは $b = 2$、$c = -3$ だね。

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   x 軸を2か所で横切ってる。この2つの $x$ が解だよ。左は $x = -3$、右は $x = 1$。だから実数解は2個だね。

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   じつは交点の数は、計算しなくても $D = b^2 - 4ac$ で見分けられる。これを「判別式」と呼ぶよ。今は $x^2$ の係数 $a$ が1なので $D=b^2-4c$。$b = 2$・$c = -3$ で $D = 16$、プラスだね。

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   $c$ を上げていくと、放物線がせり上がって2つの交点が近づく。$c = 1$ にすると…ちょうど頂点が x 軸に乗って、1点で接したね。

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   このとき $D=0$(=$2^2-4\cdot1\cdot1$)。2つの解が重なって「重解」、解は1個。D がちょうど 0 が境目なんだ。

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   さらに $c$ を上げると、放物線が x 軸より上に浮いて交わらない。交点が消えた=実数解なし(0個)。このとき D は $D<0$ になってるよ。

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   動くのは $c$ だけじゃないよ。交点が消えたこの状態($c = 3$)から $b$ を 4 にすると、$D=4^2-4\cdot3=4>0$。放物線が横にずれて、また2点で交わった。$b$ も D を変えるんだね。

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   $D>0$ で2個、$D=0$ で1個、$D<0$ で0個。グラフを描かなくても符号だけで解の数がわかる。$b$ と $c$ をいろいろ動かして見比べてみよう。