図形と合同
3つのうちどれか1つがそろえば、2つの三角形はぴったり重なる。
2つの三角形は、次のどれか1つが成り立てば合同(ずらしたり裏返したりすれば完全に重なる)になるよ。
三角形は『形と大きさが3つの情報で決まる』ので、すべての辺と角を確かめなくても、この3つのどれかで十分なんだ。
②は角が2辺の『あいだ』にあること、③は辺が2角の『あいだ』にあることが大事。位置がずれると(2辺と、はさまない角など)合同が確定しないことがある。直角三角形では、これに加えて『斜辺と他の1辺』『斜辺と1鋭角』でも合同が言える(直角三角形の合同条件)。
「三角形は3つの情報で形が1つに決まる」ことを、作図で1通りに描けることとして確かめる。
三角形は3辺・3角の計6つの要素を持つけれど、形と大きさを決めるのに6つ全部はいらない。うまく選んだ3つで三角形が1つにぴたりと決まる、というのが合同条件の正体だよ。
①3辺相等: 3つの辺の長さが決まれば、コンパスで2つの円を交わらせる作図で三角形はただ1通りに描ける(2つの交点は裏返しの関係なので、合同)。
②2辺夾角相等: 1つの角を描き、その2辺の長さをとって先を結べば、やはり三角形は1通りに決まる。角が「2辺のあいだ」にあることが効いている。
③1辺両端角相等: 1つの辺を描き、その両端から決まった角度で線をのばせば、交わる点は1つに決まる。だから三角形も1通り。
どの条件でも「形が1つに定まる」から合同だと言える。これは中学では証明する対象ではなく、図形を考えるときの土台として認める基本事項なんだ。
合同な三角形どうしでは、対応する3組の辺・3組の角がすべて等しい。逆に、その全部を確かめなくても上の条件1つで合同が決まる、というのがこの定理のうれしさ。
証明で合同を使うときは、対応する頂点の順をそろえて のように書くのが約束。どの条件を使ったか(3辺相等・2辺夾角相等・1辺両端角相等)を明記すると、論理がはっきり伝わるよ。合同がいえれば、対応する辺・角がすべて等しいと一気に主張できる。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。
この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。