平行四辺形
四角形が次のどれか1つを満たせば、平行四辺形になる。
四角形が、次の つのうちどれか つを満たせば平行四辺形だといえるよ。
平行四辺形の「性質」を逆向きに読んだもので、証明問題では「どれを示せば平行四辺形といえるか」を選ぶことになる。
対象が四角形(順番に頂点を結んだへこみのない四角形)であること。①〜⑤はどれも単独で十分条件= つ示せれば平行四辺形だといえる。とくに⑤は「 組だけ」でよいのがポイント(平行と長さの両方を、同じ 組の対辺について示す)。
代表として②「 組の対辺がそれぞれ等しい四角形は平行四辺形」を、対角線で つの三角形に分けて合同から示す。
四角形 で 、 とする(②の条件)。対角線 を 本引いて、 つの三角形に分けるよ。
と を見くらべる。、(条件)、(共通)。 辺がそれぞれ等しいから、この つは合同だ。
合同だから対応する角が等しい。 は対角線 を横切る錯角だから 。同じく から 。
組の対辺がそれぞれ平行になった。これは平行四辺形の定義そのものだから、 は平行四辺形だ。残りの③④⑤も、同じように合同を使えば示せるよ。
これらの条件は、平行四辺形の「性質」(平行四辺形なら対辺が等しい・対角が等しい・対角線が中点で交わる…)の逆にあたる。平行四辺形ならば①〜⑤はすべて成り立ち、逆に①〜⑤のどれか つが成り立てば平行四辺形になる。条件と性質は表裏の関係になっているよ。
②と⑤の取り違えに注意。②は 組の対辺が「等しい」、⑤は 組の対辺が「平行 かつ 等しい」。⑤を「 組が平行」だけ、または「 組が等しい」だけと覚えていると、平行四辺形でない四角形(等脚台形など)まで含めてしまう。 組でいくなら平行と長さの両方が要る、と覚えよう。
言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。