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三角関数のグラフ

三角関数の合成

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2 sin⁡(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)。22 つの波が 11 つにまとまる。

主張

sin⁡\sin と cos⁡\cos が混ざった式 asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta は、たった 11 つの正弦波 a2+b2 sin⁡(θ+α)\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) にまとめられるよ。振幅(波の高さ)は a2+b2\sqrt{a^2+b^2}、横のずれ α\alpha は cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}・sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} を満たす角(=点 (a,b)(a,b) の向き)。たとえば sin⁡θ+cos⁡θ=2 sin⁡(θ+45∘)\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\,\sin(\theta+45^\circ)。バラバラの 22 つの波が 11 つの波になるから、最大・最小がひと目で分かる(±a2+b2\pm\sqrt{a^2+b^2})。これがいちばんの値打ちだね。

asin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2 sin⁡(θ+α)a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)
a=b=1a=b=1 の例。赤い sin⁡θ\sin\theta と青むらさきの cos⁡θ\cos\theta を足すと、黄色い 11 つの波 2 sin⁡(θ+45∘)\sqrt2\,\sin(\theta+45^\circ) にまとまる。

成り立つ条件

a,ba,b は定数で、同時に 00 ではない(でないと波にならない)。ずれの角 α\alpha は cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}・sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} の両方で決める(tan⁡α=ba\tan\alpha=\dfrac{b}{a} だけだと象限がずれることがある)。点 (a,b)(a,b) がどの向きにあるかで α\alpha が決まる、と思えばいいよ。

証明(なぜ成り立つ?)

目標の形 a2+b2 sin⁡(θ+α)\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) を加法定理でばらし、係数を a,ba,b に合わせる角 α\alpha がちゃんと取れることを確かめる。

  1. 1

    右辺を加法定理でばらすと a2+b2 (sin⁡θcos⁡α+cos⁡θsin⁡α)\sqrt{a^2+b^2}\,(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha)。これが asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta と一致するには、sin⁡θ\sin\theta と cos⁡θ\cos\theta の係数をそれぞれ合わせればいいね。

    a2+b2 sin⁡(θ+α)=a2+b2 cos⁡α sin⁡θ+a2+b2 sin⁡α cos⁡θ\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha)=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos\alpha\,\sin\theta+\sqrt{a^2+b^2}\,\sin\alpha\,\cos\theta
  2. 2

    係数をくらべると a2+b2 cos⁡α=a\sqrt{a^2+b^2}\,\cos\alpha=a、a2+b2 sin⁡α=b\sqrt{a^2+b^2}\,\sin\alpha=b。つまり cos⁡α=aa2+b2\cos\alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}、sin⁡α=ba2+b2\sin\alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} となる α\alpha を選べばよい。

  3. 3

    この 22 つを 22 乗して足すと、分子も分母も a2+b2a^2+b^2 でそろって下の式になる。cos⁡2+sin⁡2\cos^2+\sin^2 が 11 になる角 α\alpha は必ずあるから(点 (a,b)(a,b) を半径 a2+b2\sqrt{a^2+b^2} の円にのせた向き)、合成はいつでもできるんだ。

    cos⁡2α+sin⁡2α=a2+b2a2+b2=1\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1
  4. 4

    振幅 a2+b2\sqrt{a^2+b^2} は、係数 a,ba,b を 22 辺とする直角三角形の斜辺=三平方の長さそのもの。sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta+\cos\theta なら 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2、ずれは 45∘45^\circ で 2 sin⁡(θ+45∘)\sqrt2\,\sin(\theta+45^\circ) になるね。

逆

合成の逆は「展開」。a2+b2 sin⁡(θ+α)\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(\theta+\alpha) を加法定理でばらせば、いつでも asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta にもどせる。「22 つの波の和 ⇔\Leftrightarrow 11 つの波」と双方向に行き来できるんだ。cos⁡\cos でまとめたいときは a2+b2 cos⁡(θ−β)\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(\theta-\beta) の形にもできる(同じ波の別の書き方)。

補足・つまずきポイント

つまずきやすいのは 22 点。① 振幅は a2+b2\sqrt{a^2+b^2}。係数 a,ba,b を直角三角形の 22 辺と見たときの斜辺(三平方)だよ。② α\alpha は cos⁡\cos と sin⁡\sin の両方で向きを決める(符号に注意)。合成すると −1≤sin⁡(θ+α)≤1-1\le\sin(\theta+\alpha)\le1 から、asin⁡θ+bcos⁡θa\sin\theta+b\cos\theta の最大は a2+b2\sqrt{a^2+b^2}、最小は −a2+b2-\sqrt{a^2+b^2} とすぐ読める。最大最小問題の定番だね。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。