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点と直線の距離

直線の上にない点から、その直線までの「距離」ってどう測るんだろう。いちばん近づける道はどれなのか、いっしょに探そう。

直線ℓと、その上にない点 P があるね。「P と ℓ の距離」とは、いちばん近づける長さのことだよ。

これだけ思い出そう

直角三角形の斜辺を、2辺から三平方の定理 $a^2 = b^2 + c^2$ で求めたのを思い出そう。座標の上でも、横の差と縦の差を2辺とみれば距離が測れるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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直線ℓと、その上にない点 P があるね。「P と ℓ の距離」とは、いちばん近づける長さのことだよ。
2
P から ℓ へまっすぐ垂線を下ろしてみよう。その足までの長さが、求める距離 $d$ だよ。
3
ℓ 上のどの点へ引いても、斜めの線は垂線より長くなる。だから垂線が最短 = 距離なんだ。
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座標で直線を $ax + by + c = 0$ 、点を $(x_0, y_0)$ と置くと、距離はこの公式で一発で出るよ。導き方はこの先の単元で学ぶから、今は「代入すればいい」と覚えよう。
$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$