点と直線の距離(定理辞典)

主張

点 $P(x_0,y_0)$ と直線 $\ell:ax+by+c=0$ の距離は、 $P$ から $\ell$ へまっすぐ下ろした垂線の長さのこと(= $P$ と $\ell$ 上の点を結ぶいちばん短い長さ)。 $\ell$ 上のほかのどの点へ結んでも、それは直角三角形の斜辺になって垂線より長くなる。だから垂線が最短=距離なんだ。座標で書くと、 $d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ と、点の座標を直線の式に代入するだけで出せる。

d=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

点

P

から直線

\ell

へ下ろした垂線の足までの長さ

d

が距離。直角マークが「最短=垂線」を表す。

成り立つ条件

直線は $ax+by+c=0$ の形で $(a,b)\ne(0,0)$ (でないと直線にならない)。分子の絶対値は「 $P$ が直線のどちら側にあっても距離は正」のため。ここで $(a,b)$ は直線 $\ell$ に垂直な向き(法線ベクトル)の成分だよ。

証明(なぜ成り立つ?)

垂線の足を「 $P$ から法線ベクトル $(a,b)$ 方向へ進んだ点」と置き、その点が直線上にある条件から進む量を求める。

1
まず「最短は垂線」を確かめる。 $\ell$ 上の点 $Q$ への距離 $PQ$ のうち、垂線の足 $H$ への $PH$ がいちばん短い。 $P,H,Q$ が $\angle H=90^\circ$ の直角三角形をつくり、 $PQ$ は斜辺だから $PH$ より長いからだ。だから距離 $d=PH$ 。
2
直線 $\ell:ax+by+c=0$ の傾きは $-\dfrac ab$ だから、それに垂直な向きの傾きは $\dfrac ba$ (かけると $-1$ )。この向きはベクトルで $(a,b)$ と書ける(法線という。縦線 $b=0$ や横線 $a=0$ でも $(a,b)$ で考えれば同じだ)。 $P(x_0,y_0)$ からこの法線方向へ $t$ だけ進んだ点 $H=(x_0+at,\ y_0+bt)$ が、ちょうど垂線の足になるように $t$ を決めよう。
3
$H$ は $\ell$ 上にあるから、座標を直線の式に代入すると $0$ になる。これを $t$ について解く。
$a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c=0\ \Rightarrow\ t=-\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$
4
距離は $PH=|t|\times|(a,b)|=|t|\sqrt{a^2+b^2}$ 。さっきの $t$ を代入すると分母が $1$ つ約分されて、公式が出てくる。
$d=|t|\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

逆

$d=0\iff$ 点 $P$ が直線 $\ell$ 上にある( $ax_0+by_0+c=0$ )。絶対値を外した $ax_0+by_0+c$ の符号は、 $P$ が $\ell$ のどちら側にあるかを表す(プラス側・マイナス側)。距離だけ知りたいなら絶対値、どちら側かも知りたいなら符号を見る。

補足・つまずきポイント

公式は「 $P$ を通り $\ell$ に垂直な直線と $\ell$ の交点(垂線の足)までの距離」を計算した結果。法線ベクトル $(a,b)$ の向きへ $P$ を動かして $\ell$ にぶつける、と考えると導ける。円の中心と直線の距離 $d$ を半径 $r$ と比べれば円と直線の位置関係(離れる・接する・交わる)がわかり、交わるときの弦の長さは $2\sqrt{r^2-d^2}$ になる。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

点と直線の距離

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

点と直線の距離

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

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