証明: 平行四辺形の対辺・対角は等しい

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   向かい合う2組の辺が平行な四角形 $ABCD$ が平行四辺形だよ($AB \parallel DC$、$AD \parallel BC$)。使っていい約束はこの「平行」だけ。ここから「対辺は等しい」を導きたい。

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   対角線 $AC$ を1本引くよ。すると四角形が $\triangle ABC$ と $\triangle CDA$ の2枚に分かれる。この2枚を比べていこう。

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   $AB \parallel DC$ に対角線 $AC$ が横切っているね。平行線の錯角は等しいから、$\angle BAC = \angle DCA$(同じ色の角)。

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   もう1組。$AD \parallel BC$ にも対角線 $AC$ が横切っているから、こちらの錯角も等しい。$\angle DAC = \angle BCA$(別の色)。

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   そして対角線 $AC$ は、2枚の三角形が共有している辺。つまり $AC$ は共通で長さは同じ。これで材料が3つそろったよ。

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   共通辺 $AC$ の両端の角 $\angle BAC=\angle DCA$ と $\angle BCA=\angle DAC$ がそれぞれ等しい。1辺とその両端の角が等しいから、$\triangle ABC \equiv \triangle CDA$(合同条件 ASA)!

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   合同な三角形は対応する辺が等しい。$AB$ と $DC$、$BC$ と $DA$ はそれぞれ対応する辺だから、$AB=DC$、$BC=DA$。向かい合う辺は等しい、と示せたね!

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   同じ合同から、対応する角 $\angle ABC=\angle CDA$ も言える。つまり向かい合う角も等しい($\angle B=\angle D$)。対角線を1本引いて合同にのせる。これが平行四辺形の性質を示す基本の型だよ。