証明: 中線定理(座標を置く)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   三角形 $ABC$ の辺 $BC$ の真ん中が $M$。$A$ と結んだ赤い線が中線 $AM$ だよ。示したいのは $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$。2乗の和がぴったり釣り合うという関係だね。

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   方眼はもう敷いてあるね。ここで大技だよ。$M$ をちょうど原点、直線 $BC$ を $x$ 軸に合わせて置くんだ。三角形がどこにあっても、こう置き直せるよね。

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   $M$ が中点なのがここで効くよ。$B$ と $C$ は原点から反対向きに同じだけ離れているから、$B(-m, 0)$ と $C(m, 0)$ と書ける。$A$ は好きな場所にあるので $A(x, y)$ とおこう。

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   $AB$ の長さを座標から出そう。$A$ から $x$ 軸へ垂線を下ろすと直角三角形が現れるね。横の差は $x+m$、$AC$ のほうは $m-x$、縦の差はどちらも $y$ だよ。2乗するから $(x-m)^2$ と書いても同じだね。

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   直角三角形ができたから三平方の定理だね。横の差と縦の差、それぞれの2乗を足せば距離の2乗になる。$AB^2=(x+m)^2+y^2$、$AC^2=(m-x)^2+y^2$。2乗のまま持っておくのがコツだよ。

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   2つを足して展開してみよう。$+2mx$ と $-2mx$ が出てきて、きれいに打ち消し合うんだ!$B$ と $C$ が原点から反対向きに同じ $m$ だけ離れていたおかげだね。

   $$\begin{gathered}AB^2+AC^2 = (x+m)^2+y^2 \\ \quad +\,(m-x)^2+y^2 \\ = (x^2+2mx+m^2) \\ \quad +\,(m^2-2mx+x^2)+2y^2 \\ = 2x^2+2y^2+2m^2\end{gathered}$$
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   次は右辺。$M$ は原点だから、$A$ との横の差は $x$、縦の差は $y$。さっきと同じ計算で $AM^2=x^2+y^2$ だね。$BM$ は $m$ だから $BM^2=m^2$。だから $2(AM^2+BM^2)=2x^2+2y^2+2m^2$ だよ。

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   左辺と右辺を見くらべてみよう。どちらも $2x^2+2y^2+2m^2$ で、ぴったり同じ!だから $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ が言えたね。これが中線定理だよ。

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   座標を置くと、長さの関係が式の計算に化ける。しかも $A$ をどこへ動かしても $x$ の符号が面倒を見てくれるから、垂線の足が $BC$ の外に出るような形でも場合分けはいらないんだ。