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比例と反比例のグラフ

比例 $y = ax$ と反比例 $y = k/x$ を、グラフにするとどんな形になるだろう。2つの関係の違いと、定数を変えたときの動きを見比べよう。

まずは比例から。 $y = ax$ は、 $x$ が増えると同じ割合で $y$ も増える関係だよ。グラフにしてみよう。

これだけ思い出そう

「文字式は長方形の面積」で、たて・横のように文字を使って量を表すことを見たね。今回はその文字式で $x$ と $y$ の関係を書き、座標平面にグラフとして描いて形の違いをつかむよ。

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まずは比例から。 $y = ax$ は、 $x$ が増えると同じ割合で $y$ も増える関係だよ。グラフにしてみよう。
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原点を通る、まっすぐな直線になったね。比例定数 $a$ は、線のかたむき(急さ)を表すよ。
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点で確かめよう。 $x = 1$ で $y = 1$ 、 $x = 2$ で $y = 2$ 。 $x$ が2倍になると $y$ も2倍。だからまっすぐなんだ。
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比例定数 $a$ を2にしてみるよ。同じ $x$ でも $y$ が大きくなって、線がぐっと急になったね。
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次は反比例。 $y = k/x$ 、つまり $x$ と $y$ をかけると、いつも同じ数になる関係だよ。
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グラフは2つにわかれた曲線(双曲線)。原点にどんどん近づくけど、0ではわれないから決して触れないんだ。
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点を見ると $x = 2$ で $y = 2$ 、 $x = 4$ で $y = 1$ 。 $x$ が2倍になると $y$ は半分。でも $x \times y$ はずっと4のままだよ。
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比例はまっすぐ、反比例は曲線。どちらも片方が動くともう片方が連動する仲間だよ。2つの定数を動かして見比べよう。