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軌跡 — アポロニウスの円

2つの定点からの距離の比を、いつも同じ( $2:1$ など)に保つ点を集めると、どんな形が現れるだろう。点を動かしながら、比が保たれるふちを追いかけよう。

2つの定点 $A$ 、 $B$ があるよ。 $A$ までの距離が $B$ までの距離のちょうど2倍、つまり $PA:PB=2:1$ になる点 $P$ を考えてみよう。

これだけ思い出そう

「軌跡 — 放物線」で、条件を満たす点を集めると1つの図形が浮かび上がることを見たね。今回は『2定点からの距離の比が一定』という条件で同じように点の集まりをさぐるよ。「円の方程式」も使うので思い出しておこう。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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2つの定点 $A$ 、 $B$ があるよ。 $A$ までの距離が $B$ までの距離のちょうど2倍、つまり $PA:PB=2:1$ になる点 $P$ を考えてみよう。
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いまの $P$ は $PA$ (赤)が $PB$ (青)のちょうど2倍。この $2:1$ を保ったまま $P$ を動かすと、通り道はどんな形になると思う?
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条件を保って $P$ を動かして集めると…ほら、通り道は円になった! 比が $1:1$ じゃないのに、ぐるっと1つの円をえがくんだ。
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なぜ円になるんだろう? 直線 $AB$ の上で $PA:PB=2:1$ になる点を探すと、 $AB$ を $2:1$ に分ける内分点 $I$ と外分点 $E$ の2つだけ見つかるよ。
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この内分点 $I$ と外分点 $E$ こそ円の直径の両端。中心 $C$ はちょうどその中点なんだ。これがアポロニウスの円。距離の比が一定( $1:1$ 以外)の点は円をえがくよ。