アポロニウスの円(定理辞典)

主張

$2$ つの定点 $A,B$ と正の定数 $k$ ( $k\ne1$ )に対して、 $PA:PB=k:1$ (距離の比が一定)を満たす点 $P$ の集まり(軌跡)は $1$ つの円になる。これをアポロニウスの円というよ。中心と半径は、直線 $AB$ 上で同じ比になる $2$ 点、つまり $AB$ を $k:1$ に内分する点 $I$ と外分する点 $E$ で決まり、 $I,E$ が直径の両端、中心はその中点になる。比がちょうど $1:1$ のときだけは例外で、軌跡は円ではなく $AB$ の垂直二等分線(直線)になる。

PA:PB=k:1\ (k>0,\ k\ne1)\ \Longrightarrow\ P\,\text{ は円をえがく}

PA:PB=2:1

を保つ点

P

の軌跡は円。直径の両端は

AB

を

2:1

に内分する

I

・外分する

E

で、中心

C

はその中点。

成り立つ条件

$A\ne B$ で、比 $k$ は $k>0$ かつ $k\ne1$ 。 $k=1$ (等距離)のときは円にならず垂直二等分線に退化する。「 $1:1$ 以外」が円になる条件だね。

証明(なぜ成り立つ?)

距離の条件 $PA=k\cdot PB$ を座標で $2$ 乗して整理すると円の方程式が出る。直線 $AB$ 上の内分点・外分点がその直径の両端になる。

1
$PA:PB=k:1$ は $PA=k\cdot PB$ 、両辺を $2$ 乗して $PA^2=k^2\,PB^2$ と同じこと。 $A,B$ を座標に置き、 $P=(x,y)$ として両辺の $2$ 乗距離を成分で書く。
2
展開すると両辺に $x^2+y^2$ が現れ、左辺の係数は $1$ ・右辺の係数は $k^2$ 。移項して $(1-k^2)$ でわると( $k\ne1$ だからわれる)、 $x^2+y^2+(\text{1 次の項})+(\text{定数})=0$ の形になる。これは円の方程式。だから軌跡は円。
3
その円が直線 $AB$ と交わる $2$ 点が直径の両端で、 $AB$ を $k:1$ に内分する点 $I$ と外分する点 $E$ 。中心 $C$ は $IE$ の中点、半径は $CI=CE$ だね。( $k=1$ なら $1-k^2=0$ でわれず、式は $1$ 次=直線=垂直二等分線に退化する。)

逆

逆に、そのアポロニウスの円の上にある点はどれも $PA:PB=k:1$ を満たす(軌跡=ちょうどその円で、過不足なし)。比を $1:1$ に近づけると円はどんどん大きくなり、 $1:1$ で半径が無限大=直線(垂直二等分線)に変わる、と対比して覚えるとよい。

補足・つまずきポイント

なぜ円になるか。座標で $PA=k\cdot PB$ を $2$ 乗して整理すると、 $x^2,y^2$ の係数がそろって円の方程式 $(x-c)^2+y^2=r^2$ の形になる(代数でも確かめられる)。 $k\ne1$ だから割り算ができて円が残り、 $k=1$ だと $2$ 乗の項が消えて $1$ 次式=直線になる。直径の端 $I,E$ は $AB$ を $k:1$ に内分・外分する点で、中心 $C$ は $IE$ の中点だよ。

見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

軌跡 — アポロニウスの円

使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。

PA:PB が一定の点の軌跡

アポロニウスの円

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 証明(なぜ成り立つ?)

🔄 逆

💭 補足・つまずきポイント

🔗 関連する定理

🔭 見て確かめる

💡 使いどころ

主張

成り立つ条件

証明(なぜ成り立つ?)

逆

補足・つまずきポイント

関連する定理

見て確かめる

使いどころ