横線 y=k で実数解の個数を数える

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   三次関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフだよ。ひと山ひと谷の、うねった形をしているね。このグラフを使って、$x^3 - 3x = k$ の実数解が何個あるかを目で数えてみよう。

3. 2

   $k$(横線の高さ)を変えると、曲線と交わる回数=実数解の個数も変わりそうだね。何個から何個まで変わって、どこが境目になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず山と谷の高さを見ておこう。左の山(極大)のてっぺんは高さ2、右の谷(極小)の底は高さ $-2$。この $-2$ と 2 が、あとで効いてくるよ。

6. 4

   高さ $k=0$ の横線(いまは $x$ 軸)を引くと、曲線と3か所で交わる。交点の $x$ がそのまま解だから、$x^3 - 3x = 0$ の実数解は3個だね。

7. 5

   横線を $k=1$ まで上げてみよう。まだ山(2)と谷($-2$)の間にあるね。だから交点は3つのまま、実数解は3個だよ。

8. 6

   さらに上げて $k=2$、ちょうど山のてっぺんの高さにすると、横線が山に接する。交点が2個に減ったね(接した点は2つが重なった重解だよ)。

9. 7

   山より高い $k=3$ にすると、交わるのは右側の1か所だけ。実数解は1個に減ったよ。山を飛びこえると交点がぐっと減るんだね。

10. ③ 解答
11. 8

    谷 $-2$ と山 2 の間なら3個、外なら1個、ちょうど $\pm2$ で2個。横線 $y=k$ の上下で解の個数が読める=定数分離の使いどころだよ。