証明: 円に内接する四角形

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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   四角形 $ABCD$ の4つの頂点が、どれも同じ円の周の上にのっているよ。これが「円に内接する四角形」だね。示したいのは、向かい合う $\angle A$ と $\angle C$ の和が $180^\circ$ になることだよ。

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   まず対角線 $BD$ を引いてみよう。$\triangle BCD$ ができたね。$\angle C$ はこの三角形の角の1つだよ。三角形の内角の和は $180^\circ$ だから、残りの2つの角が $\angle A$ に化けてくれれば勝ちだ。

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   もう1本、対角線 $AC$ も引くよ。すると $\angle A$ がふたつに割れるね。$\angle DAC$ と $\angle CAB$ だ。この2切れの行き先を、これから追いかけるよ。

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   緑の $\angle DAC$ から。これは弧 $DC$ に立つ円周角だよね。同じ弧 $DC$ に $B$ から立つ円周角が $\angle DBC$。同じ弧に立つ円周角はどこから見ても等しいから、この2つは等しい!

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   紫の $\angle CAB$ も同じだよ。これは弧 $BC$ に立つ円周角。同じ弧 $BC$ に $D$ から立つと $\angle BDC$ になるね。やっぱり円周角どうしだから等しい。

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   ここで $\angle A$ を見直そう。緑と紫の2切れでできていたよね。その緑は $\angle DBC$、紫は $\angle BDC$ に引っ越せる。どちらも $\triangle BCD$ の角だ!$\angle A$ がまるごと三角形の中へ移ったよ。

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   あとは $\triangle BCD$ の内角の和だね。緑と紫と赤を足すと $180^\circ$。緑と紫の和は $\angle A$、赤は $\angle C$ だったから…ほら、$\angle A + \angle C = 180^\circ$ だ!

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   $\angle B$ と $\angle D$ の組は、2本の対角線の役割を入れ替えるだけ。$AC$ で $\triangle ACD$ をつくり、$BD$ で $\angle B$ を割れば同じ話だよ。中心角を持ち出さなくても証明できたね。