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平方完成はすきまを埋める

$x^2 + 6x$ を、タイルを組み直して大きな正方形に近づけてみよう。ぴったりの正方形にするには、何がどれだけ足りないだろう。

$x^2 + 6x$ を正方形で考えるよ。まずは一辺 $x$ の正方形= $x^2$ から。これに $6x$ をくっつけて、大きな正方形にしたいんだ。

これだけ思い出そう

「因数分解はタイルの組み直し」で、式を長方形の面積として並べたね。「(a+b)² は4つのタイルに分かれる」で見た正方形の作りとあわせて、今回は $x^2 + 6x$ をタイルで組み直し、正方形の形に近づける工夫をさぐるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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$x^2 + 6x$ を正方形で考えるよ。まずは一辺 $x$ の正方形= $x^2$ から。これに $6x$ をくっつけて、大きな正方形にしたいんだ。
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$6x$ を「 $3x$ ずつ」2つに分けて、 $x^2$ の右と上にはりつけよう。6 を半分の 3 と 3 に分けたんだ。
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右上に、たて3・横3の四角いすきまが空いたね。ここを埋めれば、一辺 $x+3$ のきれいな正方形になりそう。
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すきまは $3 \times 3 = 9$ 。これを足すと一辺 $x+3$ の正方形 $(x+3)^2$ になる。でも勝手に足した 9 は、あとで引いておくよ。
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だから $x^2+6x = (x+3)^2 - 9$ 。6 の半分 3 が $(x+3)$ の 3、その2乗 9 が $-9$ になる。これが平方完成だよ。
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$x$ を動かしても、 $(x+3)^2-9$ は $x^2+6x$ とずっと同じ。この形にすると、頂点 $(-3, -9)$ がそのまま読めるんだ。