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平行線と線分の比

角の二等分線と比(内角の二等分線)

内角の二等分線は、対辺をとなりの2辺の比に分ける。

主張

△ABC\triangle ABC で、∠A\angle A の二等分線が対辺 BCBC と交わる点を DD とすると、DD は BCBC を BD:DC=AB:ACBD:DC=AB:AC に分けるよ。∠A\angle A をはさむ「となりの2辺の比」が、そっくりそのまま対辺の分け方に移る、というのがこの定理。角を半分にしただけなのに、長さの比まで決まってしまうのがおもしろいところ。

BD:DC=AB:ACBD:DC = AB:AC
ABCD
∠A\angle A の二等分線が対辺を切る点 DD。となりの2辺 ABAB・ACAC(赤・緑)の比が、BD:DCBD:DC にそのまま移る。

成り立つ条件

ADAD が ∠A\angle A の二等分線で、DD が対辺 BCBC 上にあること。ABAB・ACAC は ∠A\angle A をはさむ2辺(DD から見て同じ側どうし、ABAB には BDBD、ACAC には DCDC が対応する)。比の向きを取り違えないよう、BB 側の辺 ABAB と BB 側の分け前 BDBD をセットで見るのがコツ。

証明(なぜ成り立つ?)

CC を通り二等分線 ADAD に平行な直線を引いて、△ACE\triangle ACE が二等辺になることを作り、平行線と線分の比に持ち込む。

  1. 1

    CC を通り、二等分線 ADAD に平行な直線を引く。それが辺 BABA を AA の側へ延ばした直線と交わる点を EE とするよ。

  2. 2

    AD∥ECAD \parallel EC だから、平行線の角がそろう。直線 BEBE を横切る同位角で ∠BAD=∠AEC\angle BAD=\angle AEC、直線 ACAC を横切る錯角で ∠DAC=∠ACE\angle DAC=\angle ACE だ。

  3. 3

    ADAD は ∠A\angle A の二等分線なので ∠BAD=∠DAC\angle BAD=\angle DAC。さっきの 22 式とつなぐと ∠AEC=∠ACE\angle AEC=\angle ACE。底角が等しいから、△ACE\triangle ACE は二等辺三角形になるね。

    AE=ACAE=AC
    ABCDEADEC
    CC を通り ADAD に平行な線で、BABA の延長上に EE をとる。AD∥ECAD \parallel EC の同位角・錯角で 44 つの角(黄)がすべて等しく、△ACE\triangle ACE は AE=ACAE=AC(緑)の二等辺三角形になる。
  4. 4

    △BCE\triangle BCE を見ると、AD∥ECAD \parallel EC。平行線と線分の比から、ADAD が分ける BD:DCBD:DC は BA:AEBA:AE に等しい。

    BD:DC=BA:AEBD:DC = BA:AE
  5. 5

    ここで AE=ACAE=AC を入れると、となりの2辺の比が、対辺にそっくり移ることが示せた!

    BD:DC=AB:ACBD:DC = AB:AC

逆

逆も成り立つ。BCBC 上の点 DD が BD:DC=AB:ACBD:DC=AB:AC をみたすなら、ADAD は ∠A\angle A の二等分線になる。「比が辺の比と等しい → その線は角を二等分している」と読めて、二等分線であることを長さの計算で示せるよ。

補足・つまずきポイント

外角バージョンもある。∠A\angle A の外角の二等分線は、対辺 BCBC の延長を AB:ACAB:AC に「外分」する(AB≠ACAB\ne AC のとき)。内角版が線分を内側で分ける(内分)のに対し、外角版は外側で分けるのが違い。問題で「内角か外角か」をまず確かめよう。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。