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終点の存在範囲 ― 係数の条件で領域が変わる

📖 言葉で読む:位置ベクトルと内分点 →

終点の存在範囲 ― 係数の条件で領域が変わる全3問

2直線の交点を位置ベクトルで出す
3点が一直線になる条件
終点の存在範囲 ― 係数の条件で領域が変わる

① 考えてみよう

基準 O から、2本の矢印 a・b を組み合わせて点 P を表すよ。 $\vec{OP}=s\vec{a}+t\vec{b}$ 。いま $s,t$ は0以上で、しかも $s+t\le 1$ 。このとき P はどのあたりを動くと思う?

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① 考えてみよう
1
基準 O から、2本の矢印 a・b を組み合わせて点 P を表すよ。 $\vec{OP}=s\vec{a}+t\vec{b}$ 。いま $s,t$ は0以上で、しかも $s+t\le 1$ 。このとき P はどのあたりを動くと思う?
2
$s+t$ がちょうど1のときと、1より小さいとき。境目の「 $s+t=1$ 」が、どんな線になるかを思い出すと、範囲の形が見えてきそうだよ。
② 考え方
3
$s+t=1$ のとき、P は直線 AB の上に乗る(係数の和が1=共線、だね)。さらに $s,t\ge 0$ なら、はみ出さずに線分 AB そのものになるよ。
4
次に $s+t\le 1$ も許すと、和が小さいぶん P は AB より O 側へ寄れる。 $s=t=0$ なら O 自身。こうして AB と O ではさまれた三角形 OAB の、周と内部が全部ぬりつぶされるんだ。
5
もし条件を $0\le s\le 1,\ 0\le t\le 1$ に変えたら?和の制限がなくなるので、a と b で作る平行四辺形 OACB まで広がる。条件のつけ方しだいで範囲がガラッと変わるね。
③ 解答
6
もとの条件 $s,t\ge 0,\ s+t\le 1$ にもどそう。答えは三角形 OAB の周と内部。係数の条件を「境界 $s+t=1$ → 内側へ広げる」と読むのが、存在範囲の使いどころだよ。
7
見つけるコツ: まず等号( $s+t=1$ )で境界の直線を出し、不等号でどちら側か・端点で角を決める。 $s+t$ や $s,t$ 単独の範囲を「線→領域」に翻訳していくのがコツだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

3点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ は一直線上にない( $\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でない)とし、 $\vec{OA} = \vec{a}$ 、 $\vec{OB} = \vec{b}$ とする。 $\vec{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$ ( $s \geqq 0$ 、 $t \geqq 0$ 、 $s + t \leqq 1$ )とする。

$s + t = k$ とおくと、 $0 \leqq k \leqq 1$ である。

$k = 0$ のとき、 $s = t = 0$ なので $\vec{OP} = \vec{0}$ となり、 $P$ は $O$ に一致する。

$0 < k \leqq 1$ のとき、 $s' = \frac{s}{k}$ 、 $t' = \frac{t}{k}$ とおくと、 $s' + t' = 1$ 、 $s' \geqq 0$ 、 $t' \geqq 0$ で、 $\vec{OP} = k(s'\vec{a} + t'\vec{b})$ となる。

$\vec{OQ} = s'\vec{a} + t'\vec{b}$ となる点 $Q$ をとると、係数の和が $1$ でどちらも $0$ 以上なので、 $Q$ は線分 $AB$ 上にある。

$\vec{OP} = k\vec{OQ}$ ( $0 < k \leqq 1$ )なので、 $P$ は線分 $OQ$ 上( $O$ を除く)にある。

$Q$ が線分 $AB$ 上を、 $k$ が $0 < k \leqq 1$ の範囲を動くと、 $P$ は三角形 $OAB$ の周と内部のうち $O$ 以外の点をすべて動く。 $k = 0$ のときの $O$ と合わせて、 $P$ の存在範囲は三角形 $OAB$ の周と内部である。

答え三角形 $OAB$ の周と内部

減点されやすいポイント

$s + t = k$ とおいて $k$ でわり、係数の和を $1$ にそろえるのが答案の定番の手順だよ。 $k = 0$ のときは $k$ でわれないので、 $P = O$ と分けて書いておこう。 $s + t = 1$ の場合だけを考えると線分 $AB$ しか出てこないし、 $0 \leqq s \leqq 1$ 、 $0 \leqq t \leqq 1$ と取りちがえると $s = t = 1$ の点( $\vec{a} + \vec{b}$ の終点)まで入れて平行四辺形にしてしまうね。その点は $s + t = 2$ なので、この問題では範囲の外だよ。

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