座標から四面体の体積を出す

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   三角すい PABC の体積を求めよう。体積は $\frac{1}{3}$ × 底面積 × 高さ で出せる。座標は A(1,2,1)、B(3,4,2)、C(2,0,3)、P(5,0,−3) だよ。

3. 2

   底面積も高さも座標から計算で出せそうだね。求める三角すいの体積は、いくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず底面 $ABC$ を調べよう。$AB = B - A = (2, 2, 1)$、$AC = C - A = (1, -2, 2)$。内積は $AB \cdot AC = 2 - 4 + 2 = 0$ だから、$\angle A$ はぴったり直角だね。

6. 4

   $|AB|=\sqrt{4+4+1}=3$、$|AC|=\sqrt{1+4+4}=3$ だね。$\angle A$ が直角だから $AB$ と $AC$ を底辺・高さに使えて、底面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$ だよ。

7. 5

   次は高さ。P から底面へまっすぐおろす垂線をさがそう。$AP = P - A = (4, -2, -4)$ は、ほんとに底面に垂直かな?2辺との内積で確かめるよ。

8. 6

   $AP \cdot AB=8−4−4=0$、$AP \cdot AC=4+4−8=0$。両方0だから AP は底面に垂直!だから AP がそのまま高さで、垂線の足はちょうど A になるよ。

9. ③ 解答
10. 7

    高さは $|AP|=\sqrt{16+4+16}=\sqrt{36}=6$。体積は $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 6 = 9$ だ!内積=0 で垂線を見つければ、座標から立体の体積も出せるね。