座標から四面体の体積を出す

$A(1, 2, 1)$、$B(3, 4, 2)$、$C(2, 0, 3)$、$P(5, 0, -3)$ より、$\vec{AB} = (3 - 1, 4 - 2, 2 - 1) = (2, 2, 1)$、$\vec{AC} = (2 - 1, 0 - 2, 3 - 1) = (1, -2, 2)$、$\vec{AP} = (5 - 1, 0 - 2, -3 - 1) = (4, -2, -4)$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 - 4 + 2 = 0$ で、どちらも零ベクトルでないので $AB \perp AC$、すなわち $\angle BAC = 90^\circ$

$|\vec{AB}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$、$|\vec{AC}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ より、$\triangle ABC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$

$\vec{AP} \cdot \vec{AB} = 8 - 4 - 4 = 0$、$\vec{AP} \cdot \vec{AC} = 4 + 4 - 8 = 0$

$\vec{AP}$ は、底面上の平行でない(互いに垂直な零でないベクトルなので)2つのベクトル $\vec{AB}$、$\vec{AC}$ の両方に垂直なので、底面 $ABC$ に垂直である。よって $P$ から底面におろした垂線の足は $A$ で、高さは $AP$ である。

$|\vec{AP}| = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$

よって体積は $\frac{1}{3} \times \frac{9}{2} \times 6 = 9$

答え $9$