空間の3点で直角を内積で見つける

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   空間に3点 A(1,2,1)、B(3,4,2)、C(2,0,3) があるよ。三角形ABCに直角はあるかな?ななめから見た図だと、目では分からないね。

3. 2

   見た目では直角か決められないね。でも座標から計算するだけで確かめられるよ。この三角形に直角はあると思う?あるとしたら、どの角かな?

4. ② 考え方
5. 3

   まずベクトルにしよう。終点ひく始点、つまり座標を引き算するだけ。$AB = B - A = (2, 2, 1)$、$AC = C - A = (1, -2, 2)$ だね。

6. 4

   内積を計算。成分どうしをかけて足すんだったね。$AB \cdot AC = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (−2) + 1 \cdot 2 = 0$ になった!

7. ③ 解答
8. 5

   内積が0!だから $AB$ と $AC$ は垂直、$\angle A$ は直角なんだ。ななめの絵では分からなかったのに、計算だと一発で分かるね。

9. 6

   空間でも「座標を引き算してベクトル → 内積が0なら垂直」、つまり $a \perp b \iff a \cdot b = 0$。これだけで直角が見つけられる。空間ベクトルの強みだよ。