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空間の3点で直角を内積で見つける

📖 言葉で読む:空間ベクトルの内積(成分表示) →
空間の3点で直角を内積で見つける全2問
xyzABC
① 考えてみよう

空間に3点 A(1,2,1)、B(3,4,2)、C(2,0,3) があるよ。三角形ABCに直角はあるかな?ななめから見た図だと、目では分からないね。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    空間に3点 A(1,2,1)、B(3,4,2)、C(2,0,3) があるよ。三角形ABCに直角はあるかな?ななめから見た図だと、目では分からないね。

  3. 2

    見た目では直角か決められないね。でも座標から計算するだけで確かめられるよ。この三角形に直角はあると思う?あるとしたら、どの角かな?

  4. ② 考え方
  5. 3

    まずベクトルにしよう。終点ひく始点、つまり座標を引き算するだけ。AB=B−A=(2,2,1)AB = B - A = (2, 2, 1)、AC=C−A=(1,−2,2)AC = C - A = (1, -2, 2) だね。

  6. 4

    内積を計算。成分どうしをかけて足すんだったね。AB⋅AC=2⋅1+2⋅(−2)+1⋅2=0AB \cdot AC = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (−2) + 1 \cdot 2 = 0 になった!

  7. ③ 解答
  8. 5

    内積が0!だから ABAB と ACAC は垂直、∠A\angle A は直角なんだ。ななめの絵では分からなかったのに、計算だと一発で分かるね。

  9. 6

    空間でも「座標を引き算してベクトル → 内積が0なら垂直」、つまり a⊥b  ⟺  a⋅b=0a \perp b \iff a \cdot b = 0。これだけで直角が見つけられる。空間ベクトルの強みだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

AB⃗=(3−1,4−2,2−1)=(2,2,1)\vec{AB} = (3 - 1, 4 - 2, 2 - 1) = (2, 2, 1)、AC⃗=(2−1,0−2,3−1)=(1,−2,2)\vec{AC} = (2 - 1, 0 - 2, 3 - 1) = (1, -2, 2)

AB⃗⋅AC⃗=2×1+2×(−2)+1×2=0\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 \times 1 + 2 \times (-2) + 1 \times 2 = 0

AB⃗≠0⃗\vec{AB} \neq \vec{0}、AC⃗≠0⃗\vec{AC} \neq \vec{0} で内積が 00 なので、AB⃗⊥AC⃗\vec{AB} \perp \vec{AC} である。すなわち ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ

三角形の内角の和は 180∘180^\circ なので、直角は ∠A\angle A の1つだけで、∠B\angle B、∠C\angle C は直角ではない。

答え ∠A\angle A が直角

減点されやすいポイント

ななめの図の見た目で ∠B\angle B や ∠C\angle C を選ぶのが定番のまちがいだよ。実際に計算すると BA⃗⋅BC⃗=9\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 9、CA⃗⋅CB⃗=9\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 9 で、どちらも 00 ではないね。垂直を言うときは「零ベクトルでない」ことと「内積が 00」の2つをそろえて書こう。

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