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中線定理で中線の長さを求める

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中線定理で中線の長さを求める全8問

① 考えてみよう

$BC$ の中点 $M$ と $A$ を結んだのが中線 $AM$ 。辺じゃなく中点までの線だから、色で区別してね。 $AB = 7$ ・ $AC = 9$ ・ $BC = 8$ のとき、 $AM$ の長さは?

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① 考えてみよう
1
$BC$ の中点 $M$ と $A$ を結んだのが中線 $AM$ 。辺じゃなく中点までの線だから、色で区別してね。 $AB = 7$ ・ $AC = 9$ ・ $BC = 8$ のとき、 $AM$ の長さは?
2
辺が3つわかっていても、ナナメの中線 $AM$ は辺の三平方だけではすぐ出せない…。中線の特別な関係を使うと、 $AM$ はいくつになると思う?
② 考え方
3
$M$ は中点だから $BM = MC = 4$ (同じ印)。中線がきたら中線定理を思い出そう。
$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$
4
数を入れてみよう。 $7^2+9^2 = 2(AM^2+4^2)$ 、つまり $130 = 2(AM^2+16)$ だね。
③ 解答
5
両辺を2で割ると $65 = AM^2+16$ 、だから $AM^2 = 49$ 。 $AM$ は7だ!
6
中線が出て「2乗の和」を聞かれたら中線定理。三平方を2回使えば自分でも導けるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

仮定より $BC = 8$ で、 $M$ は辺 $BC$ の中点なので $BM = \frac{1}{2} BC = 4$

中線定理より $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$7^2 + 9^2 = 2(AM^2 + 4^2)$

$130 = 2(AM^2 + 16)$

$65 = AM^2 + 16$

$AM^2 = 49$

$AM > 0$ より $AM = 7$

答え $AM = 7$

減点されやすいポイント

中線定理の右辺に入るのは $BC$ ではなく半分の $BM$ だよ。 $BC = 8$ を入れると $AM = 1$ になってしまう。右辺の $2$ 倍を忘れて $AM^2 + 16 = 130$ とすると $AM = \sqrt{114}$ になるのも定番のまちがい。最後は「 $AM > 0$ より」と、正のほうを選ぶ理由を書いておこう。

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