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中線定理

三角形の頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ線(中線)の長さは、3つの辺の長さだけで書けるだろうか。頂点を動かしながら、成り立つ関係をさがそう。

BC の中点 M と頂点 A を結んだ線が中線 AM。まず BM=MC を同じ色の印で確かめよう。この AM を3辺で表せるかな?

これだけ思い出そう

「三平方の定理」で、直角三角形の3辺の間に $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ったね。今回はその三平方を、うまく引いた垂線のまわりでくり返し使って中線の長さにせまるよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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BC の中点 M と頂点 A を結んだ線が中線 AM。まず BM=MC を同じ色の印で確かめよう。この AM を3辺で表せるかな?
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頂点 A から底辺 BC へまっすぐ垂線を下ろすよ。足を H とすると、直角三角形がいくつも顔を出すね。
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底辺は H で2つに分かれるね。直角三角形 ABH と ACH で三平方すると、 $AB^2=AH^2+BH^2$ 、 $AC^2=AH^2+CH^2$ 。高さ AH は2つに共通だ。
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知りたい中線 AM も、実は直角三角形 AMH の斜辺。だから $AM^2=AH^2+MH^2$ 。ここにも同じ高さ AH が顔を出したね。
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この3つを組み合わせて M が中点(BM=CM)なのを使うと、交差する項が打ち消し合って $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ 。これが中線定理!
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中線が出て「2乗の和」を聞かれたら中線定理。三平方をくり返し使えば、公式を忘れても自分で導けるんだ。