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なぜ PA·PB=PC·PD?(相似で導く)

📖 言葉で読む:三角形の相似条件 →方べきの定理 →
なぜ PA·PB=PC·PD?(相似で導く)全7問
PABCD
① 考えてみよう

円の中で2本の弦AB・CDが点Pで交わってるよ。PA⋅PBPA \cdot PB と PC⋅PDPC \cdot PD、この2つの積にはどんな関係があると思う?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    円の中で2本の弦AB・CDが点Pで交わってるよ。PA⋅PBPA \cdot PB と PC⋅PDPC \cdot PD、この2つの積にはどんな関係があると思う?

  3. 2

    長さを直接はからず、A・Dから補助線をひいて三角形PACとPDBを作ってみて。この2つ、形が似ていないかな?似ていれば辺の比から積の関係が見えてくるよ。

  4. ② 考え方
  5. 3

    なぜ?2つの三角形PACとPDBに注目してみよう。補助線ACとDBを引くよ。

  6. 4

    まずPのところ。∠APCと∠DPBは対頂角だから等しい(同じ色だね)。

  7. 5

    次に∠Aと∠D。どちらも弧BCを見る円周角だから等しいよ。これは円の単元で習う「円周角の定理」だね。

  8. 6

    2角が等しいから△PAC∽△PDB。対応する辺の比が等しく、PA:PD=PC:PBPA : PD = PC : PB だね。

  9. ③ 解答
  10. 7

    たすきがけで PA⋅PB=PC⋅PDPA \cdot PB = PC \cdot PD。3⋅8=4⋅6=243 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24!これが方べきの定理の正体だよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

△PAC\triangle PAC と △PDB\triangle PDB において

対頂角は等しいので ∠APC=∠DPB\angle APC = \angle DPB ……①

弧 BCBC に対する円周角は等しいので ∠BAC=∠CDB\angle BAC = \angle CDB、すなわち ∠PAC=∠PDB\angle PAC = \angle PDB ……②

①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので △PAC∽△PDB\triangle PAC \backsim \triangle PDB

相似な図形の対応する辺の比は等しいので PA:PD=PC:PBPA : PD = PC : PB

比例式の外項の積と内項の積は等しいので PA×PB=PC×PDPA \times PB = PC \times PD

減点されやすいポイント

解説の「2角が等しいから相似」は、答案では「2組の角がそれぞれ等しい」と書こう。△PAC∽△PDB\triangle PAC \backsim \triangle PDB を AA と DD、CC と BB が対応する順番で書いておくと、比の式を取りちがえにくいよ。∠PAC=∠PDB\angle PAC = \angle PDB は、どちらも弧 BCBC に対する円周角だという根拠まで書くのがポイント。解説の「たすきがけ」は、答案では「外項の積と内項の積は等しい」と書くよ。

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