なぜ PA·PB=PC·PD?(相似で導く)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   円の中で2本の弦AB・CDが点Pで交わってるよ。$PA \cdot PB$ と $PC \cdot PD$、この2つの積にはどんな関係があると思う?

3. 2

   長さを直接はからず、A・Dから補助線をひいて三角形PACとPDBを作ってみて。この2つ、形が似ていないかな?似ていれば辺の比から積の関係が見えてくるよ。

4. ② 考え方
5. 3

   なぜ?2つの三角形PACとPDBに注目してみよう。補助線ACとDBを引くよ。

6. 4

   まずPのところ。∠APCと∠DPBは対頂角だから等しい(同じ色だね)。

7. 5

   次に∠Aと∠D。どちらも弧BCを見る円周角だから等しいよ。これは円の単元で習う「円周角の定理」だね。

8. 6

   2角が等しいから△PAC∽△PDB。対応する辺の比が等しく、$PA : PD = PC : PB$ だね。

9. ③ 解答
10. 7

    たすきがけで $PA \cdot PB = PC \cdot PD$。$3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 = 24$!これが方べきの定理の正体だよ。