半分ずつ限りなく分けると合計は?

正方形の面積を $1$ とする。1回目に面積 $\frac{1}{2}$ をぬり、その後は毎回、残りのすきまの半分をぬる。$k - 1$ 回ぬったあとの残りは $\left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$ なので、$k$ 回目にぬる面積は $\left(\frac{1}{2}\right)^k$ である。

$n$ 回目までにぬった面積の和を $S_n$ とすると、$S_n$ は初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和なので

$S_n = \frac{\frac{1}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$

(確かめ)$S_3 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ で、3回ぬったあとの面積と一致する。

$n$ を限りなく大きくすると $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ は限りなく $0$ に近づくので、$S_n$ は限りなく $1$ に近づく。この近づく先を、限りなくたし続けたときの和とする。

答え 合計は限りなく $1$ に近づく($\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$)