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極限・近づく様子

曲線の上を点がすべりながら、 $x$ をある値にどんどん近づけていくよ。そのとき高さ( $y$ )は、どこへ向かっていくだろう。

なめらかな曲線 $y = x^2$ だよ。この上を点が滑るとき、 $x$ を少しずつ動かして高さ( $y$ )がどうなるか見てみよう。

これだけ思い出そう

「二次関数は放物線」で、 $y = x^2$ のようななめらかな曲線を見たね。今回はその曲線の上で $x$ を1つの値に『限りなく近づける』と何が起こるかを追いかけるよ。これから学ぶ微分・積分の出発点になる考え方だよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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なめらかな曲線 $y = x^2$ だよ。この上を点が滑るとき、 $x$ を少しずつ動かして高さ( $y$ )がどうなるか見てみよう。
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いまの点は $x=0.4$ のあたり。ここから $x$ を 2 に近づけていくと、高さはどこへ向かうと思う?
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$x=1$ にすると高さは 1。点が曲線をたどって右上へ動いたね。もう少し 2 に近づけてみよう。
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$x=1.6$ で高さは約 2.6。ぐんぐん上がってきた。まだ止めないよ。
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$x=1.9$ では高さ約 3.6。だんだん 4 に吸い寄せられてる感じ、しない?
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高さ 4 の線を引いてみた。 $x$ をぴったり 2 にすると、点はちょうどこの線にのる。近づけた先の高さ 4 が、この近づきの行き先=極限だよ。
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ほら、やっぱり 4 にたどり着いた。いまは 2 より小さい側から近づけたけど、大きい側からでも行き先は同じ 4 だよ。次の微分では、この『限りなく近づける』を傾きに使うんだ。