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AB と CD は平行だよ。線分 AD と BC が点 O で交わって、向かい合う2つの三角形=砂時計の形ができたね。
アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。
AB と CD は平行だよ。線分 AD と BC が点 O で交わって、向かい合う2つの三角形=砂時計の形ができたね。
上の三角形 OAB と下の三角形 OCD、面積の比はどうなるかな?長さは 4:6 だけど、面積も同じ比でいいのかな?
まず O のところ。向かい合う角(対頂角)はいつも等しいから、∠AOB = ∠COD だね。
次に AB と CD が平行だから、AD を横切ってできる錯角も等しい。∠OAB = ∠ODC だよ。2角がそれぞれ等しい(=AA相似条件)から △OAB ∽ △ODC(対応は A↔D・B↔C)!
相似比は対応する辺の比、AB:DC = 4:6 = 2:3。ここで大事なのは、面積は長さを2回かけるから「2乗」で効いてくることだよ。
だから面積比は相似比の2乗。 = 4:9 だ。長さは 2:3 でも、面積になると 4:9 と差が開くんだね。
コツは「砂時計型=対頂角+錯角で相似」を見抜くこと。相似だと分かれば、面積比は相似比の2乗で一発だよ。
解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。
と において
対頂角は等しいので ……①
より、錯角は等しいので ……②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいので
、 で、 と は対応する辺なので、相似比は
相似な図形の面積の比は相似比の2乗に等しいので
答え
減点されやすいポイント
解説の「AA相似」は略した呼び名で、答案では「2組の角がそれぞれ等しい」と書くよ。 は、 と 、 と が対応する順番で書こう。面積比を相似比のまま としたり、体積と混ぜて3乗の にしたりするのが定番のまちがい。