直角三角形の斜辺への垂線(相似3つ)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形 ABC だよ。頂点 C から斜辺 AB に垂線 CH を下ろしたら、斜辺が $AH = 9$・$HB = 16$ に分かれた。この垂線 CH の長さはいくつになるかな?

3. 2

   斜辺は 9 と 16 に分かれている。垂線 CH の長さは、この 9 と 16 からどう決まると思う?足して半分…ではなさそうだよ。

4. ② 考え方
5. 3

   斜辺に垂線を下ろすと、左の三角形 ACH と右の三角形 CBH の2つに分かれる。じつはこの2つ、そして元の三角形 ABC も、ぜんぶ形が同じ(相似)な直角三角形なんだ。

6. 4

   なぜ?左の三角形の $\angle A$ と、右の三角形の $\angle BCH$ を見て。どちらも「直角をのぞいた残り」で、$\angle A = \angle BCH$(同じ色)。同じように $\angle B = \angle ACH$。角がそろうから相似だよ。

7. 5

   $\triangle ACH \backsim \triangle CBH$ だから、対応する辺の比が等しい。短い辺どうし・長い辺どうしを並べると $AH : CH = CH : HB$。つまり CH は 9 と 16 の「あいだの比」になっているんだ。

8. 6

   比の「内側どうし・外側どうしの積は等しい」を使うと、$CH \times CH = AH \times HB$。だから $CH^2 = 9 \times 16 = 144$ だね。

9. ③ 解答
10. 7

    $CH = \sqrt{144} = 12$!斜辺への垂線は、9 と 16 を「かけて平方根をとった値(相乗平均)」になるんだね。

11. 8

    同じ相似を使えば辺も出る。$CA^2 = AH \times AB = 9 \times 25 = 225$ で $CA = 15$、$CB^2 = HB \times AB = 16 \times 25 = 400$ で $CB = 20$。「斜辺に垂線→相似3つ」が使いどころだよ。