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平面図形と角

対頂角は等しい

交わる 22 直線がつくる、向かい合った角(対頂角)はいつも等しい。

主張

22 本の直線が 11 点で交わると、その点のまわりに角が 44 つできるよ。このうち向かい合う角のペアを「対頂角」といって、対頂角はいつも等しい。隣り合う角(和が 180∘180^\circ になるペア)とは別物で、「向かい合えば等しい」のが対頂角だね。線をどんなに回しても、向かい合う 22 角は同じ大きさのままだよ。

∠a=∠c\angle a = \angle c
abc
向かい合う ∠a\angle a と ∠c\angle c(同じ色)はいつも等しい。隣の ∠b\angle b とは、たすと 180∘180^\circ。

成り立つ条件

22 直線が 11 点で交わっていること。対頂角は交点をはさんで「向かい合う」角のペアで、隣どうしの角(補角)ではない点に注意しよう。

証明(なぜ成り立つ?)

「一直線の角(平角)は 180∘180^\circ」だけを使う。隣り合う角の関係を 22 回書いて、共通の角を消す。

  1. 1

    向かい合う ∠a\angle a と、その隣の ∠b\angle b は、11 本の直線の上に並んでいる。だから和は平角 180∘180^\circ。

    ∠a+∠b=180∘\angle a+\angle b=180^\circ
  2. 2

    同じように、∠a\angle a の向かいの ∠c\angle c も、∠b\angle b と並んで一直線をつくる。だから和はやっぱり 180∘180^\circ。

    ∠c+∠b=180∘\angle c+\angle b=180^\circ
  3. 3

    ∠a\angle a も ∠c\angle c も「180∘180^\circ から同じ ∠b\angle b を引いた角」。だから必ず等しい。向かい合う対頂角は、線をどう回しても等しいままだね。

    ∠a=∠c\angle a=\angle c

補足・つまずきポイント

交点のまわりでは「向かい=等しい(対頂角)」「隣=たして 180∘180^\circ(補角)」がセットになっている。∠a\angle a がわかれば、向かいの ∠c\angle c は同じ値、隣の ∠b\angle b は 180∘−∠a180^\circ-\angle a。この 22 つを合わせると、44 つの角がぜんぶ決まるよ。角の問題のいちばん基本の道具。

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