置きかえ型の最大最小(t=sinθ+cosθ)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $y = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta$ の最大と最小を求めたいよ。掛け算と足し算がまざってて、このままだと手ごわいね。どうしよう?

3. 2

   掛け算と足し算がまざった式も、1つのカタマリに「置きかえ」れば見なれた形になるよ。最大値と最小値はどうなると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   コツは置きかえ。$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくよ。合成で習ったね、これは $\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)$=1本の波(赤)になるんだ。まずこの波を見よう。

6. 4

   波の高さ(振幅)は $\sqrt{2}$。だから $t$ が動けるのは $-\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ まで。山が $\sqrt{2}$、谷が $-\sqrt{2}$ だね。$t$ には範囲があるのがポイントだよ。

7. 5

   次に掛け算の部分。$t^2 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ だから、$\sin\theta\cos\theta = (t^2-1)/2$。なんと掛け算も $t$ だけで書けたよ。

8. 6

   代入すると $y = (t^2-1)/2 + t = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}$。$\theta$ が消えて、$t$ だけの二次関数=放物線になった!横軸を $t$ に置きかえて見てみよう。

9. ③ 解答
10. 7

    あとは区間 $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$(帯の中)での二次関数の最大最小だ。二次関数は頂点と区間の端をくらべるんだったね。頂点は $t=-1$、ここが谷=最小で $-1$ だよ。

11. 8

    最大は区間の端をくらべる。右端 $t=\sqrt{2}$($\theta=45^\circ$ で $\sin\theta=\cos\theta$ のとき)がいちばん高くて、$y=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$。左端 $t=-\sqrt{2}$ より大きいね。

12. 9

    むずかしい三角の式も、$t=\sin\theta+\cos\theta$ と置くと二次関数に化ける。値域($t$ の範囲)を出して区間の最大最小に持ちこむ、これが置きかえの使いどころだよ。