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円の発展(接弦・方べき)

接線の長さ(円外の点からの接線)

円外の 11 点から引いた 22 本の接線の長さは等しく、長さは OP2−r2\sqrt{OP^2-r^2} で出る。

主張

円の外の点 PP から円に引ける接線はちょうど 22 本。その接点を AA・BB とすると、接線の長さは等しく PA=PBPA=PB になるよ。接点では接線と半径が直角に交わる(∠OAP=∠OBP=90∘\angle OAP=\angle OBP=90^\circ)から、中心までの距離 OPOP と半径 rr がわかれば PA=PB=OP2−r2PA=PB=\sqrt{OP^2-r^2} と求められる。

PA=PB=OP2−r2PA=PB=\sqrt{OP^2-r^2}
OPT
接点 TT では接線 PTPT と半径 OTOT が直角(紫)。直角三角形 OPTOPT ができ、PT=OP2−OT2PT=\sqrt{OP^2-OT^2} で長さが出る。

成り立つ条件

PP が円の外部にあること(OP>rOP>r。円周上の点からは接線は 11 本、内部の点からは引けない)。長さの計算は「接点で接線⊥半径」がカギ。接点に半径を引くと直角三角形ができる。

証明(なぜ成り立つ?)

中心 OO と 22 接点・PP を結び、直角三角形の合同(斜辺と他の 11 辺)で PA=PBPA=PB を示す。長さは三平方で出す。

  1. 1

    22 つの接点を AA・BB とし、半径 OAOA・OBOB と OPOP を結ぶ。接点では接線⊥半径だから ∠OAP=∠OBP=90∘\angle OAP=\angle OBP=90^\circ。

  2. 2

    △OAP\triangle OAP と △OBP\triangle OBP を比べると、斜辺 OPOP が共通、OA=OB=OA=OB= 半径(11 辺が等しい)。直角三角形で斜辺と他の 11 辺が等しいから合同。

    △OAP≡△OBP\triangle OAP\equiv\triangle OBP
  3. 3

    合同な三角形の対応する辺は等しいから PA=PBPA=PB。円外の 11 点から引いた 22 本の接線の長さは等しい、と言えたね。

    PA=PBPA=PB
  4. 4

    さらに直角三角形 OAPOAP で三平方を使うと、接線の長さが半径と OPOP で求められる。

    PA=OP2−OA2=OP2−r2PA=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{OP^2-r^2}

逆

逆も成り立つ。円周上の点 TT で半径 OTOT に垂直な直線は、その円の接線になる。「接点で接線⊥半径」を逆に読むと、半径に垂直であることが接線であることの証明に使えるよ。

補足・つまずきポイント

「22 本の接線の長さが等しい(PA=PBPA=PB)」は辺の長さを移す強力な道具。三角形の内接円では、各頂点から 22 つの接点までの長さが等しいことを使って、接点が辺をどう分けるかを一気に決められる。また、円外の点から接線 PTPT と割線(円との交点を CC・DD)を引くと、接線版の方べきの定理 PT2=PC⋅PDPT^2=PC\cdot PD が成り立つ。これは「接線=22 交点が重なった割線」とみる別の関係で、PA=PBPA=PB とは混同しないこと。

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