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円の発展(接弦・方べき)

トレミーの定理

円に内接する四角形では、対角線の積=向かい合う 22 組の辺の積の和。

主張

円に内接する四角形 ABCDABCD では、22 本の対角線の積が、向かい合う 22 組の辺の積の和に等しくなるよ。式で書くと AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC。44 辺と片方の対角線がわかれば、もう一方の対角線が積の計算だけで求められる、とても強い関係だね。

AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC
ABCD
円に内接する四角形 ABCDABCD と 22 本の対角線 ACAC・BDBD。対角線の積=向かい合う辺の積の和、が成り立つ。

成り立つ条件

四角形 ABCDABCD が円に内接していること(44 頂点が同じ円周上)。A,B,C,DA,B,C,D は円周をこの順にまわる並びで、ACAC・BDBD が対角線、ABAB と CDCD、ADAD と BCBC が向かい合う辺の組。

証明(なぜ成り立つ?)

対角線 ACAC 上に ∠ABK=∠DBC\angle ABK=\angle DBC となる点 KK をとり、円周角を使って相似な三角形を 22 組つくる。22 つの式を足すと定理が出る。

  1. 1

    対角線 ACAC 上に、∠ABK=∠DBC\angle ABK=\angle DBC となる点 KK をとる。弧 BCBC に対する円周角より ∠BAK=∠BAC=∠BDC\angle BAK=\angle BAC=\angle BDC も成り立つ。

  2. 2

    △ABK\triangle ABK と △DBC\triangle DBC は 22 角が等しく相似。対応する辺の比から AK⋅BD=AB⋅DCAK\cdot BD=AB\cdot DC を得る。

    △ABK∼△DBC ⇒ AK⋅BD=AB⋅CD\triangle ABK\sim\triangle DBC\ \Rightarrow\ AK\cdot BD=AB\cdot CD
  3. 3

    次に KK は ACAC 上・DD は対角線の先だから ∠KBC=∠ABC−∠ABK\angle KBC=\angle ABC-\angle ABK、∠ABD=∠ABC−∠DBC\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC。∠ABK=∠DBC\angle ABK=\angle DBC なので ∠ABD=∠KBC\angle ABD=\angle KBC。弧 ABAB に対する円周角より ∠ADB=∠ACB=∠KCB\angle ADB=\angle ACB=\angle KCB だから、△BCK\triangle BCK と △BDA\triangle BDA も相似。

    △BCK∼△BDA ⇒ CK⋅BD=BC⋅AD\triangle BCK\sim\triangle BDA\ \Rightarrow\ CK\cdot BD=BC\cdot AD
  4. 4

    22 つの式を足すと (AK+CK)⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC(AK+CK)\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC。KK は ACAC 上だから AK+CK=ACAK+CK=AC。よってトレミーの定理が成り立つ。

    AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC

逆

逆も成り立ち、AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC が成り立つ四角形は円に内接する。一般の四角形では左辺が右辺以上(AC⋅BD≥AB⋅CD+AD⋅BCAC\cdot BD\ge AB\cdot CD+AD\cdot BC、トレミーの不等式)で、等号が成り立つのが内接するときだよ。

補足・つまずきポイント

円に内接する四角形のもう 11 つの性質「向かい合う角の和は 180∘180^\circ」とセットで使うことが多い。証明は対角線上に補助点をとって相似を 22 回つくるのがポイント。正三角形の外接円で使うと、有名な等式が出る応用もある。

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