円に内接する四角形

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. 1

   4つの頂点がすべて1つの円周上にのっている四角形、これが「円に内接する四角形」だよ。

2. 2

   向かい合う ∠A と ∠C に色をつけて、数字を出してみよう。足すと…ちょうど 180°!

3. 3

   理由は円周角の定理だよ。∠A は弧BCDに対する円周角=その弧(中心角)の半分、∠C は弧DABの半分。弧を合わせると円1周=360°だから、半分どうしの和は180°。

4. 4

   もう1組の ∠B と ∠D も、同じ理由で和が 180° になるんだ。

5. 5

   頂点をどこへ動かしても、向かい合う角の和は 180° のまま。逆に「対角の和が 180° の四角形は円に内接する」も成り立って、証明問題の強力な武器になるよ。

6. 6

   実は内接四角形には、もう一つ特別な宝物が隠れてるよ。向かい合う角の印は一度しまって、今度は2本の対角線 AC と BD を引いてみよう。

7. 7

   トレミーの定理だよ。向かい合う2組の辺を色分けすると、緑の積 $AB \times CD$ と紫の積 $AD \times BC$ の和が、対角線の積 $AC \times BD$ にぴったり等しいんだ。

8. 8

   トレミーはここまで。最後は最初の宝物「向かい合う角の和は 180°」に戻って、頂点を自分の手で動かして確かめてみよう。