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展開・因数分解

乗法公式

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 をはじめとする展開の公式。一辺 a+ba+b の正方形を 44 つのタイルに切ると、abab が 22 枚あることが目で見える。

主張

一辺が a+ba+b の正方形の面積は (a+b)2(a+b)^2。この正方形を、たて・横とも aa と bb のところで切ると、角の a2a^2 と b2b^2、そして同じ大きさの abab のタイルが 22 枚に分かれる。全部たすと a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 だから (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。同じ要領で (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b)=a^2-b^2 も成り立つ。これらは数を文字でまとめて速く計算するための「展開の型」だよ。

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
a²ababb²
一辺 a+ba+b の正方形は a2a^2・b2b^2・同じ色の abab が 22 枚。合わせて (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。

成り立つ条件

a,ba,b はどんな数でもよい(負の数や文字式でも成り立つ恒等式)。面積タイルで見るときは a,b>0a,b>0 の長さとして考える。(a−b)2(a-b)^2 は bb を引く向きに、(a+b)(a−b)(a+b)(a-b) はたて・横で長さが違う長方形に、それぞれ同じ切り分けを当てたものだね。

証明(なぜ成り立つ?)

分配法則で (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) を展開し、出てくる 44 つの積を面積タイルの 44 枚と対応づける。

  1. 1

    (a+b)2=(a+b)(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a+b)。前の (a+b)(a+b) の各項を、後ろの (a+b)(a+b) の各項にそれぞれかけ合わせる(分配法則)。

  2. 2

    かけ算は a×a=a2a\times a=a^2、a×b=aba\times b=ab、b×a=bab\times a=ba、b×b=b2b\times b=b^2 の 44 つ。

    (a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2
  3. 3

    abab と baba は同じものだから、22 つ合わせて 2ab2ab。よって a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2。これは面積で見た「a2a^2 タイル・b2b^2 タイル・同じ大きさの abab タイル 22 枚」にちょうど対応している。

    a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2

逆

この式を右から左へ読むと因数分解になる。a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 を見たら (a+b)2(a+b)^2 にまとめられる。展開と因数分解は、同じ式を逆向きに見ているだけなんだ。

補足・つまずきポイント

abab のタイルが 22 枚あるから真ん中は 2ab2ab。(a+b)2(a+b)^2 を a2+b2a^2+b^2 と書いてしまうミスは、この abab の 22 枚を忘れた形。(a+b)3(a+b)^3 のような高次の展開は、各項の係数がパスカルの三角形で並ぶ二項定理でまとめて出せるよ。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。