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展開・因数分解

因数分解公式

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。バラバラのタイルを長方形に組み直すと、たて・横の因数が見える。展開の逆向き。

主張

x2+5x+6x^2+5x+6 のようなタイルの集まり(x2x^2 の正方形・xx の帯・11 のかたまり)を、すきまなく 11 つの長方形に並べ直せると、その長方形のたて・横の長さが因数になる。x2+5x+6x^2+5x+6 は よこ x+3x+3・たて x+2x+2 の長方形に組めるから (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)。一般に、たして bb・かけて cc になる 22 数 p,qp,q を見つければ x2+bx+c=(x+p)(x+q)x^2+bx+c=(x+p)(x+q) と分解できる。

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
x²3x2x6
x2x^2・3x3x・2x2x・66 のタイルを長方形に組み直すと よこ x+3x+3・たて x+2x+2。面積が (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)。

成り立つ条件

整数の範囲で分解するなら、定数項 c=pqc=pq の約数の組から「たして bb」になる p,qp,q を探す。いつでも整数や実数で分解できるとは限らない(例えば二次式 x2+bx+cx^2+bx+c は判別式 b2−4c<0b^2-4c<0 だと実数の範囲では因数分解できない)。

証明(なぜ成り立つ?)

求める 22 因数を (x+p)(x+q)(x+p)(x+q) とおいて展開し、もとの式と係数を見比べる。

  1. 1

    求める因数を (x+p)(x+q)(x+p)(x+q) とおいて展開すると、乗法公式の逆向きで x2+(p+q)x+pqx^2+(p+q)x+pq になる。

    (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq
  2. 2

    これがもとの x2+bx+cx^2+bx+c と等しくなるには、xx の係数どうし・定数どうしが一致すればよい。つまり「たして bb・かけて cc」になる 22 数 p,qp,q を見つける問題に変わる。

    p+q=b,pq=cp+q=b,\qquad pq=c
  3. 3

    x2+5x+6x^2+5x+6 なら、たして 55・かけて 66 の 22 数は 22 と 33。だから (x+2)(x+3)(x+2)(x+3)。面積タイルでは、xx の帯を 33 本と 22 本に分け、すきまを 3×2=63\times2=6 のタイルで埋めると、ちょうど よこ x+3x+3・たて x+2x+2 の長方形になる。

逆

右から左へ (x+p)(x+q)(x+p)(x+q) を展開すれば x2+(p+q)x+pqx^2+(p+q)x+pq に戻る。因数分解は展開の逆向きだ。また p,qp,q は二次方程式 x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 の解の符号を反転したもので、解と係数の関係(和 =−b=-b・積 =c=c)とも背中合わせなんだ。

補足・つまずきポイント

コツは「55 を 3+23+2、66 を 3×23\times2 に分ける」=和が xx の係数・積が定数。先に共通因数をくくり出す、a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b) や a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2 を使う、なども因数分解公式の仲間。タイルがきれいな長方形に組めるかどうかが、分解できるかの目印になるよ。

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使いどころ

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