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正弦・余弦定理

正弦定理

辺とその向かいの角の sin の比は一定で、外接円の直径 2R2R に等しい。

主張

三角形 ABC で、角 AA・BB・CC の向かいの辺をそれぞれ aa・bb・cc、外接円の半径を RR とすると、asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R が成り立つよ。どの辺も「向かいの角の sin」で割ると同じ値になり、しかもそれが外接円の直径と一致する、というのがこの定理。「1辺とその向かいの角」がペアでわかっているときに、別の辺や角、外接円の大きさへ橋渡しできる。

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
AABCaO
三角形と、その3頂点を通る外接円。辺 aa とその向かいの角 ∠A\angle A がペアになるのが正弦定理のかなめ。

成り立つ条件

辺と角は『向かい合うペア』で対応させるのが絶対の約束。aa には ∠A\angle A、bb には ∠B\angle B をそろえる。使えるのは「1辺+その向かいの角」がそろっているとき。2辺とそのはさむ角しかわからない、というときは余弦定理の出番だよ。

証明(なぜ成り立つ?)

外接円に直径を補助線として引き、「直径の円周角は直角」と「同じ弧の円周角は等しい」を使う。

  1. 1

    三角形 ABCABC の外接円(半径 RR)をかき、頂点 BB から中心 OO を通る直径 BA′BA' を引くよ(A′A' は円周上の点)。

  2. 2

    BA′BA' は直径だから、それを斜辺とする円周角は直角になる(直径の円周角)。

    ∠BCA′=90∘\angle BCA'=90^\circ
    OABCA'a2R
    直径 BA′BA'(=2R=2R)を斜辺とする △BCA′\triangle BCA' は直角三角形。∠A′\angle A' は ∠A\angle A と同じ弧 BCBC に立つので等しい(同じ色)。
  3. 3

    ∠A′\angle A' と ∠A\angle A は、どちらも同じ弧 BCBC に立つ円周角だから等しい(∠A′=∠A\angle A'=\angle A)。

  4. 4

    直角三角形 BCA′BCA' は斜辺が直径 2R2R。sin を考えて ∠A′=∠A\angle A'=\angle A とあわせると:

    sin⁡A=sin⁡A′=BCBA′=a2R\sin A=\sin A'=\dfrac{BC}{BA'}=\dfrac{a}{2R}
  5. 5

    変形すると asin⁡A=2R\dfrac{a}{\sin A}=2R。bb・cc についても同じようにできるので、3つともそろって 2R2R に等しいんだ。

    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R
  6. 6

    (∠A\angle A が鈍角のときは A′A' が反対側の弧に来るけれど、sin⁡(180∘−A)=sin⁡A\sin(180^\circ-A)=\sin A なので、やはり同じ式になるよ。)

補足・つまずきポイント

=2R=2R の部分は円周角の定理から導ける。弦 aa の向かいの円周角が ∠A\angle A で、直径を斜辺にとった直角三角形を考えると a=2Rsin⁡Aa=2R\sin A になる。だから正弦定理は『円周角の定理を辺の長さの形に翻訳したもの』とも言えるんだ。

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使いどころ

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。