直径に対する円周角(タレスの定理)(定理辞典)

主張

円の直径を $AB$ 、円周上の点(両端以外)を $P$ とすると、 $\angle APB=90^\circ$ になるよ。 $P$ を円周にそってどこへ動かしても、直径を見込む角はいつも直角。「直径を見たら直角」とセットで覚えると、円の問題で直角三角形をすぐ呼び出せる。

\angle APB = 90^\circ

直径

AB

を円周上の

P

から見込むと、

\angle APB

(赤)はちょうど

90^\circ

。

P

を動かしても変わらない。

$AB$ が「直径」であること(中心 $O$ を通る弦)。 $P$ は円周上で $A$ ・ $B$ 以外の点。直径でなければ角は $90^\circ$ にならないので、まず $AB$ が中心を通っているかを確かめよう。

中心 $O$ と $P$ を結ぶと半径が $3$ 本そろう。等しい半径から二等辺三角形を $2$ つ作り、三角形の内角の和を使う。

1
$O$ は $AB$ の中点(中心)で、 $OA=OB=OP=$ 半径 $r$ 。だから $\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ はどちらも二等辺三角形だね。
2
二等辺三角形の底角は等しいから、 $\angle OAP=\angle OPA\,(=\alpha)$ 、 $\angle OBP=\angle OPB\,(=\beta)$ とおける。
3
$\triangle APB$ の内角の和は $180^\circ$ 。その $3$ 角は $\angle PAB=\alpha$ 、 $\angle PBA=\beta$ 、 $\angle APB=\alpha+\beta$ だから、 $\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$ 。
$2(\alpha+\beta)=180^\circ$
4
よって $\alpha+\beta=90^\circ$ 。 $\angle APB=\angle OPA+\angle OPB=\alpha+\beta=90^\circ$ 。直径を見込む角は、 $P$ がどこでも直角になる。
$\angle APB=90^\circ$

逆も成り立つ。 $\angle APB=90^\circ$ なら、点 $P$ は $AB$ を直径とする円の上にある。言いかえると、直角三角形の斜辺の中点は外接円の中心(外心)で、斜辺の中点から $3$ 頂点までの距離は等しい。「直角 → 斜辺の中点が等距離の中心」と読めるよ。

これは円周角の定理( $1$ つの弧に対する円周角は中心角の半分)の特別な場合。直径が見込む中心角は $180^\circ$ だから、円周角はその半分でいつも $90^\circ$ 。歴史的にタレスが示したと伝わるので「タレスの定理」と呼ばれる。

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

この定理が、実際の問題でどう効くのかを見てみよう。