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正多面体とオイラーの定理(回して数える)

正多面体の頂点・辺・面の数には、立体を回しても変わらない関係がかくれているよ。3つの立体を回して数えて、その関係をさがそう。

立体には頂点(V)・辺(E)・面(F) があるね。3つの正多面体で、その数の関係をさがそう。まずは正四面体。

これだけ思い出そう

「正多面体とオイラーの定理」で、平面にひらいた図をたよりに頂点(V)・辺(E)・面(F)を数えたね。今回は立体そのものをぐるっと回して、同じ3つの数を数え直すよ。回すと数えやすくなるはずだよ。

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立体には頂点(V)・辺(E)・面(F) があるね。3つの正多面体で、その数の関係をさがそう。まずは正四面体。
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ぐるっと回しながら数えよう。頂点 $V=4$ 、辺 $E=6$ 、面 $F=4$ 。 $V - E + F = 4 - 6 + 4 = 2$ だね。
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正四面体はしまって、次は立方体。頂点 $V=8$ 、辺 $E=12$ 、面 $F=6$ 。 $V - E + F = 8 - 12 + 6$ で、やっぱり 2!
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正八面体も回して数えよう。頂点 $V=6$ 、辺 $E=12$ 、面 $F=8$ 。 $V - E + F = 6 - 12 + 8$ で、また 2 になった!
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どの立体でも頂点−辺+面、つまり $V - E + F = 2$ !これがオイラーの多面体定理。穴のない多面体ならいつも成り立つよ。