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正多面体とオイラーの定理

いろいろな多面体で、頂点の数・辺の数・面の数を数えてみよう。この3つの数の間に、いつでも成り立つ関係がかくれているよ。

立体には頂点( $V$ )・辺( $E$ )・面( $F$ ) があるね。左から正四面体・立方体・正八面体、この3つで数の関係をさがそう。

これだけ思い出そう

「立体の切断(断面の形)」で、立方体が正方形の面と辺、頂点でできていたことを見たね。今回はいろいろな立体で、この頂点・辺・面の数を実際に数えていくよ。

あやしいと思ったら、先にここへ戻ろう

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

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立体には頂点( $V$ )・辺( $E$ )・面( $F$ ) があるね。左から正四面体・立方体・正八面体、この3つで数の関係をさがそう。
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正四面体を数えよう。頂点 $V=4$ 、辺 $E=6$ 。色のついた三角の面は、手前から見える3枚と底にもう1枚で面 $F=4$ 。 $V - E + F = 4 - 6 + 4 = 2$ だね。
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立方体は?頂点 $V=8$ 、辺 $E=12$ 。色のついた面は手前に3枚・奥に3枚で面 $F=6$ 。 $V - E + F = 8 - 12 + 6$ で、やっぱり 2!
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正八面体も。頂点 $V=6$ 、辺 $E=12$ 。色のついた三角の面は上に4枚・下に4枚で面 $F=8$ 。 $V - E + F = 6 - 12 + 8$ で、また 2 になった!
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どの立体でも頂点−辺+面、つまり $V - E + F = 2$ !これがオイラーの多面体定理。穴のない多面体ならいつも成り立つよ。