相関係数

📐 主張

✅ 成り立つ条件

📝 なぜそう決まる?

💡 なぜいつも $-1\le r\le1$ におさまるのかを、各データを標準化(偏差を標準偏差でわる)して考える。標準化した値の積の平均が $r$ で、それが $\pm1$ をこえられない理由を見る。

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   各データの偏差を標準偏差でわった「標準化得点」$u_i$、$v_i$ を考える。すると相関係数はちょうど、その積の平均になるよ。標準化のおかげで $u$ も $v$ も「$2$ 乗の平均が $1$」にそろうのがポイント。

   $$r=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}u_i v_i,\qquad \dfrac{1}{n}\sum u_i^2=\dfrac{1}{n}\sum v_i^2=1$$
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   ここで $u$ と $v$ の差を $2$ 乗した平均を考える。$2$ 乗だから必ず $0$ 以上。展開すると $u,v$ の $2$ 乗の平均がどちらも $1$ だから、$r\le1$ が出てくるよ。

   $$\dfrac{1}{n}\sum (u_i-v_i)^2=2-2r\ge0\ \Rightarrow\ r\le1$$
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   同じように $u$ と $v$ の和を $2$ 乗した平均を考えると、今度は $r\ge-1$。あわせて $-1\le r\le1$ だね。使ったのは「$2$ 乗の平均は $0$ 以上」だけだよ。

   $$\dfrac{1}{n}\sum (u_i+v_i)^2=2+2r\ge0\ \Rightarrow\ r\ge-1$$
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   等号 $|r|=1$ になるのは、差(または和)の $2$ 乗がいつも $0$、つまり全部の点が $1$ 本の直線にのるとき。正の比例なら $+1$、負なら $-1$。直線からずれるほど $|r|$ は $1$ より小さくなる、というわけだね。

🔭 見て確かめる

言葉で読んだら、動くアニメと自分の手で確かめてみよう。

• 🔭相関・散布図・相関係数